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几何一词在古汉语中表示“多少”之意，后被明朝科学家徐光启和意大利传教士利玛窦用作拉丁文geometria的音、意并译结果。 几何学的诞生作为基础数学的两大分支之一，几何学从诞生之初，就一直与人类的生产生活紧密相连。 传说，居住在尼罗河沿岸的古埃及人时常为这样一件事感到烦恼——每次尼罗河泛滥之后，河流两岸原本清晰的农田边界被暴力冲刷掉。于是，古埃及人不得不抓紧时间，顶着太阳、迎着风沙，拿着简陋的测绘工具，重新丈量田亩，设定农田边界。因此诞生了“測地术”，后来被地中海对面的希腊人发展成了朴素的几何学（其实是“欧式几何”）。  标准化建造的金字塔，展示了古埃及非凡的几何学成就 也许是因为古埃及人有着大把大把的农田需要开垦，古埃及人忙着种田和建造金字塔，没有太多的时间和精力去搞精神文明建设。从公元前3000年开始，到公元前7世纪左右，在如此漫长的岁月中，古埃及人把从生产实践中得到的关于长度，角度，面积和体积的经验原理加以总结。 然而，勤劳质朴的古埃及人并没有将这些知识汇编成完整的理论体系。这些知识经验成果漂洋过海，被地中海对面的古希腊人视如珍宝。这才成为奠定古希腊文明，乃至于整个西方文明的基石。 几何学系统化、理论化和地中海对岸的古埃及邻居们不同的是，古希腊人几乎没有农田，而且被海洋和山地阻隔，形成了许许多多的小城邦。经常出海捕鱼、经商且享受着民主红利的古希腊人（斯巴达除外）对于数学知识的需求极其旺盛，而且敢想敢做更敢说。 随着对外战争和海外贸易的发展，古希腊拥有了一大批奴隶。不需要从事具体生产工作、有钱有闲、享受着徒子徒孙孝顺的古希腊哲人们开始把过剩的精力投入到各种哲学（这个时候还没有“科学”的概念，人们一般把这些学问统称为“自然哲学”）研究中。  全新印制的《几何原本》 公元前300年前后，古希腊数学家欧几里得在前人的基础上，对庞杂的几何知识加以总结归纳，辅以严密的逻辑推理，写出了《原本》（拉丁文Elementorum，后译作《几何原本》），几何学这才走上了系统化、理论化的康庄大道。 欧几里得从原始公理开始，列出5条公理，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧氏几何的第一个公理化数学体系。 几何学的后续发展可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例，对西方数学思想的发展影响深远。然而，随着古希腊文明毁于战火，欧洲经历了漫长而黑暗的中世纪宗教统治。一千余年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将“坐标系”引入几何，带来革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。 实际上，几何问题的代数化在中国数学史上是显著的方法。笛卡儿的创造，是否有东方数学的影响在里面，由于东西方数学交流史研究的欠缺，尚不得而知。 欧氏几何是由点、直线、平面等基本元素拼凑而成的。欧氏几何主要研究平面结构的几何及立体几何，然而，欧氏几何难以适用于不规则曲面。  欧氏几何的五大公设 更何况，欧氏几何的第五公设（又称“平行公设”）似乎不适用于曲面，数学家们尝试着用欧氏几何中的其它公设来证明第五公设的正确性。但是，数学家们都失败了。沮丧的他们开始寻求补救的办法。 怎么办？这就像人们盖房子一样，房子盖好了，发现空间太小，住不下人，此刻最好的办法自然是——在楼上加盖一层或者在旁边加盖一间，顺便再扩充下庭院。 数学家们也是这么干的——对欧氏几何的“第五公设”进行扩充，增加针对曲面的特殊规定。这样一来，既不会动摇欧氏几何的基础，也不会让新发展出来的理论成为脱缰野马。 最终，由众多数学家共同参与，建立起两种不同于欧氏几何的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。  欧氏几何与非欧几何：正曲率、负曲率与平面曲率 简单的来说，非欧几何研究的是抽象空间，即更一般的空间形式。非欧空间可以理解成扭曲了的欧氏空间，它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）。而欧氏空间的坐标轴是直线，坐标轴之间成90度。 非欧几何的诞生使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。 黎曼几何的延申黎曼几何：由德国数学家黎曼创立，也称椭圆几何。在这套公理体系下，并不承认平行线的存在，任何一个平面内两条直线一定有交点，认为平面内的直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型我们可以看作一个经过改进的球面。随着黎曼几何的发展，发展出许多的数学分支（代数拓扑学、偏微分方程、多复变函数理论等），成为微分几何的基础，甚至成为广义相对论的数学基础。 几何学的新分支
 平面解析几何图例 解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作“笛卡尔几何”，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
 微分几何教材图例 微分几何以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。
 日晷 古时候，人类就开始考虑物体的投影问题，利用物体在太阳下的投影，我们的祖先还发明了日晷这种计时工具，并且学会了利用投影和太阳高度角来计算物体高度。 为了把无穷远的那些点引入观察范围，人们开始考虑射影几何。它研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科，也叫投影几何学。射影几何在航空、测量绘图、摄影等方面有广泛的应用。而作为射影几何的子几何仿影几何又独立发展。
 人们熟知的克莱因瓶 拓扑学是确定几何图形或空间在改变开关后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑形状和大小，其中重要的性质包括连通性与紧致性。它的发展促进了很多分支的进步，例如微分拓扑学、几何拓扑、代数拓扑等。 几何学研究从未止步事实上，要将几何学严格的分类出来非常困难。很多几何学分支独立发展但又与其它分支紧密联系，例如欧氏几何发展下的解析几何直接促进了微积分的产生和发展。在研究弯曲空间的度量时，需要用微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质，这样就促进了古典微分几何的发展，它又是黎曼几何的基础。而现代微分几何开始研究更一般的空间：流形。它同时又与拓扑学紧密联系。 几何学各分支独立发展又相互促进。随着几何学的发展，这种联系只会越来越紧密，要分类只会更加困难。 力学、物理学、天文学、宇航、地理信息系统以及技术和工业的日益增长的需求，正在推动着几何学不断发展，不断超越自身。可以预见的是，几何学研究远远没有到达终点。 |
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