第二十九 周 抽屉原理(一) 专题简析: 如果给你5盒饼干,让你把它们放到4个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中,那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学,那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条:(1)如果把x+k(k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。(2)如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?哪些是“元素”?然后按以下步骤解答:a、构造抽屉,指出元素。b、把元素放入(或取出)抽屉。C、说明理由,得出结论。 本周我们先来学习第(1)条原理及其应用。 例题1: 某校六年级有学生367人,请问有没有两个学生的生日是同一天?为什么? 把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中,至少有一个抽屉中有2个元素,即至少有两个学生的生日是同一天。 平年一年有365天,闰年一年有366天。把天数看做抽屉,共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中,至少在一个抽屉里有两个人,因此,肯定有两个学生的生日是同一天。 练习1: 1、某校有370名1992年出生的学生,其中至少有2个学生的生日是同一天,为什么? 2、某校有30名学生是2月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天? 3、15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生? 例题2: 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是:有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)? 首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有7种类型,把7种类型看成7个抽屉,去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人,那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8(个)学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有: 买一本的:有语文、数学、外语3种。 买二本的:有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的:有语文、数学和外语1种。 3+3+1=7(种)把7种类型看做7个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同的书,至少要去8位学生。 练习2: 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是:有买一本的、二本的、三本或四本的。,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)? 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种? 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的? 例题3: 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的? 把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有1副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推。 把四种颜色看成是4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有一副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有 5+2+2=9(只) 答:最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。 练习3: 1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的? 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问:最少要摸出多少只袜子,才能保证有3双同色的? 3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子,最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子? 例题4: 任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数,这是为什么? 一个自然数除以4的余数只能是0,1,2,3。如果有2个自然数除以4的余数相同,那么这两个自然数的差就是4的倍数。 一个自然数除以4的余数可能是0,1,2,3,所以,把这4种情况看做时个抽屉,把任意5个不相同的自然数看做5个元素,再根据抽屉原理,必有一个抽屉中至少有2个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是4的倍数。所以,任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数。 练习4: 1、任意6个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是5的倍数,这是为什么? 2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数? 3、证明在任意的(n+1)个不相同的自然数中,必有两个数之差为n的倍数。 例题5: 能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同? 由图29-1可知:所有空格中只能填写1或2或3。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×5=5,最大是3×5=15。从5到15共有11个互不相同的整数值,把这11个值看承11个抽屉,把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素,只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5,最大是15,从5到15共有11个互不相同的整数值。而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个,所以,这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 练习5: 1、能否在6行6列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同?为什么? 2、证明在8×8的方格表的每个空格中,分别填上3,4,5这三个数中的任一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。 3、在3×9的方格图中(如图29-2所示),将每一个小方格涂上红色或者蓝色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么? 答案: 练1 1、 1992年共有366天,把它看成是366个抽屉,把370个人放入366个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个人,因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。 2、 2月份最多有29天,把它看作29个抽屉,把30名学生放入29个抽屉,至少有一个抽屉里有两个人,因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。 3、一年有12个月,把12个月看作12个抽屉,把15个小朋友放入12个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个小朋友,因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。 练2 1、买书的类型中买一本的有4种,买二本的有6种,买三本的有4种,买4本的有一种,共有4+6+4+1=15种情况。把种15种情况看出15个抽屉,要保证有两位同学买到相同的书,至少要去16位学生。 2、从三周图书种任意借2本,只有6种情况。要保证有两个所借的图书属于同一种,至少要7个学生。 3、玻璃珠子的颜色有三种,要保证有2个同色,最少应取出4只珠子。 练3 1、思路同例3,最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。 2、把三种颜色看作3个抽屉,要保证有一双同色的就要摸出4只袜子,这时拿出1双同色的后,3个抽屉中还剩2只袜子。以后,只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。因此,要保证有3双同色的,最少要摸4+2+2=8只袜子。 3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子,有可能拿出8只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子,最少要取3只。因此,最少要拿出8+3=11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。 练4 1、 一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4,把这5种情况看做5个抽屉,6个不同的自然数放入这5个抽屉,必有一个抽屉中至少有两个数,这两数的余数是相同的,所以它们的差一定是5的倍数。 2、 一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7,把这8种情况看做8个抽屉,要保证至少有两个数的差是8的倍数,就要保证至少有1个抽屉里有两个数,根据抽屉原理,要取9个不同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数。 3、 一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n-1,把这n种情况看作n个抽屉,把(n+1)个自然数反复如n个抽屉中去,则必有一个抽屉中有两个数,这两个数的余数相同,则它们的差一定能被n整除,也就是n的倍数。 练5 1、 不可能。因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6,最大是18。从6到18共有13个不同的整数值,而6行、6列及两条对角线上的各个数的和共有14个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 2、 因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24,最大是40。从24到40共有17个互不相同的整数值,而8行、8列及两条对角线上的各个数的和共有18个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 3、 每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色,每列3个方格的土色就有2×2×2=8种不同情况,把这8种情况看做8个抽屉,根据抽屉原理,9列中至少有两列的土色方式是相同的。 致家长: 赞赏和激励是促使孩子进步的最有效的方法之一。 每个孩子都有希望受到家长和老师的重视的心理,而赞赏其优点和成绩,正是满足了孩子的这种心理,使他们的心中产生一种荣誉感和骄傲感。 激励孩子积极向上的6句话 赞赏和激励是促使孩子进步的最有效的方法之一。 每个孩子都有希望受到家长和老师的重视的心理,而赞赏其优点和成绩,正是满足了孩子的这种心理,使他们的心中产生一种荣誉感和骄傲感。 孩子在受到赞赏鼓励之后,会因此而更加积极地去努力,会在学习上更加努力,会把事情做得更好。 赞赏和激励是沐浴孩子成长的雨露阳光。
使孩子充满自信的7句话 自信心是人生前进的动力,是孩子不断进步的力量源泉。 因此,父母在教育孩子的过程中,一定要重视其自信心的培养。 可以说,许多学习落后或者逃学、厌学的孩子,都源于自信心的丧失。 只有自认为已经没有指望的事,人们才会放弃,学习也是一样的,只有孩子认为自己没有希望学下去了,他才会逃学、厌学。 实际上,即使那些学习很差的孩子,只要我们能重新燃起他们内心自信的火种,他们都是万全可以赶上去的。
促使孩子学习更优秀的7句话 非志无以成学,非学无以成才。学习是孩子成才的唯一途径。没有哪一位父母会不关心孩子的学习问题。 要使孩子学习好,一方面在于引导和鼓励,把孩子的学习积极性充分调动起来。使他们成为乐学、肯学的好孩子。 另一方面。需要教给孩子有效的学习方法,使他们掌握高效的学习武器。方法即是孩子学习好的捷径,即是孩子通向成才之路的桥梁。
促进孩子品行高尚的8句话 知识学得再多,但如果不懂得做人的道理,也很难在将来获得成功。 在现实社会中,许多父母对孩子往往只抓孩子的学习,不及其余。 有的父母甚至认为,孩子怎样做人,等她走上社会自然就会明白。 其实,这种认识是十分错误的。一个人的任何技能,都不是一朝一夕可能学成的,何况是应对复杂的社会和人际关系。 因此,父母应尽早多向孩子讲解解做人的道理,并为孩子做出榜样。
鼓励孩子自立自强的11句话 一个人的成功,离不开自立自强的品性和奋斗精神。 可是现今的大多数独生子女,在父母过分的呵护和娇惯之下,非常缺乏自立自强的意识。 甚至有些孩子,除了上学读书之外,生活中的事他们一概不知,甚至连自己的鞋带都系不好。这样的孩子将来走上社会,怎么会成功呢? 因此父母一定要对此有个清醒的认识,尽早鼓励孩子自立自强,培养他们不软弱、不撒娇、自己的事情自己做的良好品性。
帮助孩子热爱劳动的5句话 热爱劳动是人最重要的品性之一。世界上的成功人士大都有热爱劳动的好习惯。 对于孩子来说,父母培养他们热爱劳动,既能增强其自立自强的精神,又可以使其在劳动中学会生活技能,对今后的生存发展有着积极的作用。 因此家长千万不要把眼光只盯在孩子的学习上,而应当从小就重视对孩子进行劳动观念的教育和劳动能力的培养。
引导孩子学会与人交往的6句话 交往是人们实现合作与沟通的前提。不会与人交往的人,在社会上很难受到别人的欢迎的,而一个不受欢迎或不被他人接纳的人,也是根本不可能取得成功的。 因此,父母应当充分认识让孩子学会交往的重要性,从小鼓励孩子与同学朋友积极交往,从而为孩子的健康成长和将来走上成功之路打下一个坚实的基础。
鼓励孩子勇于纠正缺点的12句话 每个人都会有缺点,孩子当然也不例外。但父母怎样面对孩子的缺点,却很有讲究。 教育学家认为:用粗暴、打骂等方法纠正孩子的缺点,很可能使孩子产生逆反心理,不可能达到理想的效果。 只有用说服教育、讲道理的方法,使孩子认识到缺点错误的危害性,他才会主动地去改正缺点。因此父母教育孩子纠正缺点,必须讲究方法。
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