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41、简单方程的解法 【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。 解 去分母，两边同乘以6，得 3（x-9）-2（11-x）=12 去括号，得3x-27-22+2x=12 移项，得3x+2x=12+27+22 合并同类项，得5x=61 【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。 解 方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得 5（x-2）=7x 解这个整式方程，得x=-5， 检验：当x=-5时， x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0， 所以，-5是原方程的根。 解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得 （x－2）2-16＝（x+2）2 解这个整式方程，得x=-2。 检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。 42、加法运算定律 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。 加法交换律用字母表达，可以是 a+b=b+a。 例如：864+1，236=1，236+864=2，100 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。 加法结合律用字母表达，可以是 （a+b）+c=a+（b+c）。 例如：（48928+2735）+7265 =48928+（2735+7265） =48928+10000 = 58928 43、几何图形旋转 【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。 如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫做圆柱的母线。
【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。 例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AC。其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。
【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。 例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。
【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。 例如图1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。原来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。 44、几何图形的计数 【点与线的计数】 例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？
（全国第二届“华杯赛”决赛试题） 讲析：可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点； 第二排三角形有3个，其下行线有3点； 第三排三角形有5个，其下行线有4点； 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？ （如图5.46）
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。 直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。 同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。 所以，一共可以组成70个三角形。 【长方形与三角形的计数】 例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
（全国第三届“华杯赛”复赛试题） ①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。 所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。 例2 图5.48中共有______个三角形。
（《现代小学数学》）邀请赛试题） 讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个； 以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个； 以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。 所以，一共有15个三角形。 例3 图5.49中共有______个正方形。
（《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。 图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）； 图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个） 如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：
5×6的长方形中共有正方形 5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）； 4×11的长方形中共有正方形 4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。 两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形 4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。 所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。 例4 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。 （《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）
讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）； 能围成图5.51（3）的正方形共2（个）； 能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。 所以，一共可围成正方形20个。
【立体图形的计数】 例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：本题要注意不能重复计数。 八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个； 每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个； 除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。 所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。 例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。 （北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题） 讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。 但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。 所以，最少可分成20个小正方体。 45、几何体侧面展开 【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。 例如图1.41，将正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%
【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。 例如图1.42，将正三棱锥S—ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍 【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。 例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形
径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲 式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。 【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。 例如图1.44，将正三棱台ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕
【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。 例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了
46、几何公式 【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。 【立体图形计算公式】 (1)柱体公式。
（2）锥体公式。 正n棱锥（如图1．13）的公式： 圆锥的公式（圆锥如图1．14所示）：
（3）棱台、圆台公式。
正n棱台（如图1．15）的公式： 圆台（如图1．16）的公式：
（4）球的计算公式。 球的图形如图1．17所示。
S表=4πr2； 附录：其他常用公式 【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。 例如，求4500的约数个数。 解 ∵4500=22×32×53 ∴4500的约数个数是 （2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。 【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为
为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算： 例如 求1992的所有约数的和。 解 S（1992）=S（23×31×831） =5040． 【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式： （1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即 （2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即 （3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数， （4）一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有 【堆垛计算公式】 （1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是 例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图1．18）。桔子总数是多少个？”
解 依据三角形堆垛公式，得 =20（个）。 （2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加0．5的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是 例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图1．19），底层每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”
解 依据公式，得 （3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图1．20。）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：
例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图1．20所示，这盘馒头共有多少个？” 解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得 =45+55=100（个） 或者是 （4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。（梯形堆垛如图1．21所示。）用式子表示就是 例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图1．21），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”
解 依计算公式，得 【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是： S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1 例如，求下图（图1．22）中所有线段的条数。
解 在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得 S=（5+1）+5+4+3+2+1 注意：这一公式，还可以用来数形如图1．23的三角形个数。
在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为 【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为 S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1） 例如，请数出下图1．24中共有多少个不同的长方形。
解 长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得 =21×10=210（个）。（答略） 注意：这一公式，还可以用来数形如图1．25中的梯形的个数。
显然，这个图形中除了△ADE以外，其余均为大大小小的梯形。 最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为 =15×10=150（个）。（答略） 【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（n＜m）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为： S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1 特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为： 例1 求下图中正方形的总个数（如图1．26）。
解 图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得： S＝7×3+6×2+5×1 =21+12+5 =38（个）。（答略） 例2 求下图（图1．27）中的正方形有多少个。
解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得 （答略） 【平面内n条直线最多分平面部 分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为 例 平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？ 解 根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得 S=2+2+3+4+5+6+7+8 【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为 S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2 =n2-n+2 例 在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？ 解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得 S=2+1×2+2×2+…+19×2 =202-20+2 =400-20+2 =382（块）（答略） 【格点面积公式】 每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。 在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算： 图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。 例 如图1．28，求格点平面内A、B两个图形的面积。
解 A图内部无格点，B图内部有9个格点； A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。 根据格点面积公式，得： A图面积=9÷2-1=3.5（面积单位） B图面积=（9+7）÷2-1=11．5（面积单位）（答略） 如果格点是由形如“∴”或“∵”构成（如图1．29），且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为 多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。
47、几何公理、定理或性质 【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质： 两条直线相交，只有一个交点。 【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。） 【垂线性质】 （1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。） 【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。 【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。 【有关平行线的定理】 （1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 （2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。 【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。 【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有： （1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 （2）三角形三内角之和等于180°。 由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质： ①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，∠4=∠1+∠2。 ②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1， ∠4＞∠1，∠4＞∠2。
【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。） 我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。 勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。 【平行四边形的性质】 （1）平行四边形的对边相等。 （2）平行四边形的对角相等。 （3）平行四边形邻角的和是180°。如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。 （4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
【长方形的性质】 长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）长方形四个角都是直角。 （2）长方形对角线相等。 长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。 【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
菱形是中心对称图 形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。 【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°。（又称“求多边形内角和”的公式。） 例如三角形（三边形）的内角和是 （3-2）×180°=180°； 四边形的内角和是 （4-2）×180°=360°。 【多边形内角和定理的推论】 （1）任意多边形的外角和等于360°。 这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。 （2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补。
又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。 【圆的一些性质或定理】 （1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。 （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质： （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。 例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。
（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。 例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。 （3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。 例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。 中心对称图形具有以下性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。
（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
48、和差积商的变化规律 【和的变化规律】 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d； （a-d）+b=c-d。 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 【差的变化规律】 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d， （a-d）-b=c-d。 （a＞d+b） （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d）， a-（b-d）=c+d。 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c， （a-d）-（b-d）=c。 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。 【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。 （3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q， （a÷n）÷（b÷n）=q。 （4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。 这一变化规律用字母表示，就是 如果a÷b=q（余r）， 那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）， （a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。 例如，84÷9=9……3， 而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2）， （84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。 49、估值计算 【精确度计算】 例1 计算12345678910111213÷3l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是______。 （1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：被除数和除数都有17位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答： 原式的值＞1234÷3121=0.3953…… 原式的值＜1235÷3122=0.3955…… 所以，答案是3、9、5。 例2 以下四个数中有一个是304×18.73的近似值，请你估算一下，找出这个数。 （1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。 （1989年日本小学数学总体评价测验题） 讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。 18.73接近20，304接近300，300×20=6000，可知，乘积在6000左右。所以，答案是5697。 【整数部分的估算】 （1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析： 所以，整数部分是517。 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得 X，那么，与X最接近的整数是______。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得 答案是25。 例4 已知 问a的整数部分是多少？ （全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。 所以，a的整数部分是101。 果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_______。 （1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是2。 本身），整数部分都是1。在此以后的数，整数部分都是2。故答案是49。 大于3，至少要选______个数。 （1989年全国小学数学奥林匹克复赛试题） 讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得
50、根据和、差、积、商变化规律速算 【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。 利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如 645+203=645+200+3 =845＋3 =848 397＋468=400＋468-3 =868-3 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。 利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如 657＋309=（657+9）＋（309-9） =666+300 =966 154＋286=（154—4）+（286＋4） =150＋290 =（150-10）＋（290＋10） =140＋300 =440 【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。 运用这一规律的速算，如 804—355=800—355＋4 =445＋4 ＝449 593—264=600—264—7 =336—7 =329 （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。 运用这一规律的速算，如 675—298=675—300＋2 =375＋2 =377 458—209=458—200—9 =258—9 =249 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。 运用这一规律的速算，如 3520—984=（3520＋16）-（984＋16） =3536—1000 =2526 803—345=（803—3）-（345—3） =800—342 =458 【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。 （1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同样的倍数。 运用这一规律的速算，如 175×4=（25×7）×4 =[（25×7）÷25]×4×25 =7×4×25 =7×（4×25） =700 68×25＝68×100÷4 =6800÷4 =1700 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。 运用这一规律速算，如 240×25=（240÷4）×（250×4） =60×1000 =60000 45×14=（45×2）×（14÷2） =90×2 =180 【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条： （1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。 运用这一规律速算，如 5400÷9=（5400÷100）÷9×100 =54÷9×100 =6×100 =600 （2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。 运用这一规律速算，如 3600÷25＝3600÷（25×4）×4 =3600÷100×4 =36×4 =144 （3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。 运用这一规律速算，如 690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000） =690÷23 =30 12000÷25=（12000×4）÷（25×4） =48000÷100 =480 注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。 |
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