随机取一个正整数，是偶数的概率居然不是1/2？

从所有正整数中，随机取一个正整数，是偶数的概率是多少？

正整数

这个问题看上去非常简单，在所有正整数中，除了奇数就是偶数。显而易见，奇数和偶数各占一半，是一样多的。那么，从中随机取一个正整数，是偶数的概率（P(偶)）和是奇数的概率（P(奇)）当然应该相等（P(偶)=P(奇)），并且其概率和为1（P(偶)+P(奇)=1）。所以是偶数的概率就是1/2（P(偶)=P(奇)=1/2）。

如果我告诉你这个结论是错的，你肯定难以接受，无论怎么理解，P(偶)都应该是1/2啊！

偶数

要想真正理解这个问题，我们首先要了解现在主流数学界公认的概率论体系，这套体系是由前苏联著名数学家，概率论之父柯尔莫哥洛夫提出来的。

柯尔莫哥洛夫

柯尔莫哥洛夫在1933年提出了公理化概率论体系：

设P是定义在样本空间Ω导出的σ域上的测度，如果它满足

（1）对任意事件A，都有P(A)≥0；

（2）P(Ω)=1；

（3）对于可数多个互不相容的事件A1，A2，A3，……，An，……有P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An)+……；

则称P是σ域上的概率。

概率英文

条件（1）和条件（2）比较好理解，这里就不做过多解释了。关键看条件（3），其含义是指对于可数多个互不相容的事件，其中有一个发生的概率应该等于每个事件发生的概率之和。

接下来让我们回到最初的问题，从所有正整数中，随机取一个正整数，假设取到正整数n的事件为An，其概率为P(An)。

显然，事件A1，A2，A3，……，An，……是可数且互不相容的，并且事件A1∪A2∪A3∪……∪An∪……=Ω。

所以，由条件（2），P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=P(Ω)=1

由于是随机取一个正整数，那么每个数被取到的概率相等，即

P(A1)=P(A2)=P(A3)=……=P(An)=……

由条件（1）假设

P(A1)=P(A2)=P(A3)=……=P(An)=……=k≥0

若k=0，则由条件（3）

P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An)+……=0+0+0+……+0+……=0

与P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=1矛盾

若k＞0，则P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An)+……=k+k+k+……+k+……

注意到正整数有无穷多个，也就是说这里有无穷多个事件，那么也就有无穷多个正数k相加，其结果为无穷大∞。即：

P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=k+k+k+……+k+……=∞

同样与

P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=1矛盾

也就是说，满足条件的k≥0，根本不存在。

换句话说，在目前公认的公理化概率论体系下，我们根本无法做到“从所有正整数中，随机取一个正整数”这件事，那么取到偶数的概率自然也就不可能等于1/2，正确答案应为“不存在”。

之所以会出现这种问题，其根本原因在于正整数有无穷多个，我们在任取一个正整数时，是无法做到真正意义上的“随机”二字的。