中考数学压轴试题复习第一部分专题六因动点产生的相切问题

因动点产生的相切问题

课前导学

一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．

第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．

二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．

第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．

如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．

“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．

假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．

罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．

分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．

把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．

相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．

图1

例42         2014年湖南省衡阳市中考第27题

如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．

（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；

（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．

思路点拨

1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．

2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．

3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．

图文解析

（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为．

所以直线AB//CD．

在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．

所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形．

（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．

所以4－0.8t＝t．解得t＝．

此时OD＝0.6t＝．所以BD＝＝．

作DE⊥AB于E．

在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．

因此OD＝DE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径．

所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）．

图2                                     图3

考点伸展

在本题情境下，点P运动到什么位置时，平行四边形ACDP的面积最大？

S_{平行四边形ACDP}＝AC·DO＝＝＝．

当时，平行四边形ACDP的面积最大，最大值为3．

此时点P是AB的中点（如图5）．

图4                              图5

例43         2014年湖南省株洲市中考第23题

如图1，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（如图1）；

（2）设∠AOB＝，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求的范围（如图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长（如图3）．

图1                       图2                     图3

动感体验

请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A在圆上运动，可以体验到，当点A在直线AB与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB与圆有一个交点．还可以体验到，当AO⊥PM时，NO、MQ是中位线，此时等腰三角形AOM的高MN是确定的．

思路点拨

1．过点B画圆O的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．

2．第（3）题发现AO//MQ很重要，进一步发现NO、MQ是中位线就可以计算了．

图文解析

（1）如图4，连结OA．

当线段AB所在的直线与圆O相切时，OA⊥AB，A为切点．

此时在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，所以AB＝，∠ABO＝30°．

此时等边三角形ABC的高为，所以S_△ABC＝．

（2）0°≤≤60°．

（3）如图5，连结MQ，那么∠PMQ＝90°．

当AO⊥PM时，AO//MQ．

由于Q是OB的中点，所以，M是AB的中点．所以CM⊥AB．

由于O是PQ的中点，所以．所以．

如图6，连结MO．在Rt△OMN中，，MO＝1，所以MN²＝．

在Rt△AMN中，AM²＝AN²＋MN²＝．所以AM＝．

于是在Rt△CAM中，CM＝AM＝＝．

图4                          图5                   图6

考点伸展

第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B画圆O的切线，切点为G．

如图8，弧上的每一个点（包括点G、Q）都是符合题意的点A，即线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）．

如图9，弧上的每一个点A（不包括点Q）与点B连成的线段AB，与圆O都有两个交点A、M．

图7                     图8                     图9