烧脑10分钟！数学是被发现的还是制造出来的？认识数学柏拉图主义

数学柏拉图主义是为理解研究数学的目标而进行的最彻底探索的尝试之一。

如果智能生物从未存在过，数学会有什么不同来理解它。

数学柏拉图主义的基本观点是：数学对象独立于我们和我们所做的事情而存在，例如我们如何思考，如何说话，如何做事。它是对数学形而上学进行说明的最古老和最有影响力的尝试之一。

在本文中，给出并解释了数学柏拉图主义的基本定义。我们将探讨柏拉图主义——不仅涉及数学，而且一般而言——柏拉图主义与柏拉图著作之间的关系将得到澄清。然后我们将看看弗雷格对数学柏拉图主义的论证，它被广泛认为是最有影响力的此类论证。最后，我们还将考虑对数学柏拉图主义的几个反对意见。

数学柏拉图主义的基本主张

雅典学院的柏拉图雕像

数学柏拉图主义认为数学对象独立于人类活动、思想和语言而存在。因此，我们可以说，这是发现或发现数学对象的观点，而不是人类构造或制造的观点。

值得澄清的是，“数学对象”不是指任何技术或复杂的东西；它指的是任何可以用数学术语定义的东西。这听起来像是一个非常简单的观点，但这是具有欺骗性的。

发现某物和自己创造某物之间可能没有严格的区别。在处理概念对象时尤其如此，例如数学家最关心的对象，通常我们只会自信地说一个物理对象会在没有人为干预的情况下存在（尽管即使这样也很有争议）。

数学的形而上学

数学柏拉图主义也因为它是一种形而上学学说而变得复杂。到底什么才算是形而上学当然是有争议的，但从广义上讲，形而上学关注的是事物的真实面目，而不是例如知识的条件是什么；那将是认识论的关注点。

因此，数学柏拉图主义关心的是数学对象到底是什么，而不是我们如何认识它们。然而，将什么是数学对象的问题与我们如何认识它们的问题分开似乎很奇怪，因此从历史上看，数学柏拉图主义所表达的形而上学观点一直与关于数学对象的直接或直接知识的主张联系在一起。

这不是唯一可用的认识论举措，美国数学哲学家、科学哲学家和逻辑学家奎因是 20 世纪最有影响力的分析哲学家之一，也是一位热心的数学柏拉图主义者，他对数学持经验主义观点，这意味着我们对数学的知识是通过经验积累的，而不是直接积累的。显然，任何对我们在做数学时所做的事情的完整说明都必须超越纯粹的形而上学观点，但这里没有篇幅可以这样做。

数学柏拉图主义的后果

要牢记采用数学柏拉图主义的一系列后果，但其中最重要的是对物理主义世界观的影响。最基本的物理主义认为，世界只能根据关于它的物理事实来解释。数学柏拉图主义认为数学对象是真实的，鉴于数学对象是概念性的而不是物理的，这似乎意味着非物理事实是对现实的完整解释的一部分。

数学柏拉图主义特别强大，因为数学强烈宣称自己是最一致、最科学和最安全的知识生产领域。值得澄清的是，虽然数学柏拉图主义以柏拉图的名字命名，但数学柏拉图主义与柏拉图实际所说和思考的数学并没有太大关系。相反，“柏拉图主义” ——可以应用于数学以外的事物——只是认为某事物独立于我们而存在的观点。从这个意义上说，柏拉图是一个“柏拉图主义者”，但“柏拉图主义”的应用方式和事物柏拉图自己不一定会这样做。

弗雷格对数学柏拉图主义的论证

也许讨论最多的关于数学柏拉图主义的论点不是来自柏拉图本人，而是来自戈特洛布·弗雷格 。弗雷格仍然是当今最有影响力的数学家、逻辑学家和语言哲学家之一，他的数学柏拉图主义理论同样具有影响力。

弗雷格的论点取决于两个前提。首先，为所谓的“经典语义学”辩护：即“数学语言的单数术语旨在指代数学对象，其一阶量词旨在涵盖此类对象。” 其次，关于数学真实性的声明：“大多数被接受为数学定理的句子都是真实的（不管它们的句法和语义结构如何）。”

前一种主张需要对数学实际做什么的工作理解，弗雷格显然拥有这一点，并且相当于主张数学语言确实是语言，并且这些语言的组成部分与自然语言的意义大致相同。

现在可以为这一主张辩护的是，许多数学家认为这种数学观点是合理的，在数学语言和自然语言（指我们通常使用的语言）之间做出类似的划分，这不仅仅是弗雷格的怪癖。当然，第二个前提有一系列论据，但为了我们的目的，大多数哲学家都这样做，尽管他们不同意为什么。

本体承诺

有多种理解“本体论承诺”的方法，但问题的症结在于，一个句子在本体论上致力于那些为了使句子为真而必须假设的对象。

当我们声称数学句子以这种方式致力于独立存在的数学对象时，我们似乎面临着一个选择。要么我们否认关于数学语句为真的前提（很少有哲学家愿意这样做），要么我们接受数学对象的存在，从而接受数学柏拉图主义的真理。

数学的独立性

我们还没有谈到数学对象独立意味着什么。哲学家通常以反事实的方式理解这一主张，也就是说，他们通过询问如果智能生物从未存在过，数学会有什么不同来理解它。

不难看出，当以这种反事实的方式提出时，为什么很难否认独立性条件。一方面，如果人类碰巧没有进化出辨别数学真理所需的智力，那么数学真理将完全不同的观点是根本不可信的。同样，数学家经常推理假设（即非实际）。既然纯数学的真理可以在我们的整个反事实推理过程中自由求助，那么这些真理就反事实而言独立于我们人类和所有其他智能生命。

反对数学柏拉图主义

正如到目前为止所介绍的那样，数学柏拉图主义似乎非常直观。对于非数学家来说，如果人类从未存在过，那么数学对象将不复存在的想法似乎很奇怪。然而，有许多人反对数学柏拉图主义，其中一些只是试图软化它，而另一些则构成了彻底的拒绝。

其中一些反对意见非常技术性，并且使数学柏拉图主义为非数学家提出的问题复杂化。然而，一个反对意见涉及本文开头触及的彻底的哲学问题：认识论问题及其与形而上学的关系。问题变成了：我们怎样才能认识数学对象？

如果数学家得出的结论是可靠的，并且我们因此应该能够解释这种可靠性，那么数学柏拉图主义就站不住脚了。最后一个前提似乎凭空出现，但通常归因于这样一个事实，即数学柏拉图主义将数学实体设定为存在于时空之外，因此它们应该与我们有因果关系。但是，尚不清楚可靠性是否必须以因果关系来定义。在任何意义上，我们认为数学家的结果是可靠的，将取决于我们对数学家最初所做的事情的定义。我们对可靠性的定义应该遵循我们对数学的定义，而不是相反。