逻辑主义——算术是逻辑的一部分

前面所讲的，是一些哲学观点，是所谓认识论的问题。主张这种观点的人，不一定真的在数学中做什么事来实践这种观点。下面将谈到的逻辑主义、直觉主义和形式主义，却是19世纪的数学家中的三大派别。在所谓第三次数学危机中，每一派都力图按自己的观点建造数学的基础，并都为数学基础这个领域的形成做出了卓越的贡献。

柏拉图

这三个学派，即以英国哲学家兼数学家罗素为代表的逻辑主义派，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义派和以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔为代表的直觉主义派。逻辑主义的主要人物罗素和弗雷格都是柏拉图主义的支持者，他们认为：自然数是客观存在的，人要认识这种存在，并不需要引进特别的假定，也不需要康德所主张的某种关于数的先天直觉，只要从一般的逻辑出发就可以了。于是他们亲自动手，在逻辑的基础上建立算术，进而建立整个数学，以证明数学是逻辑学的一个分支。弗雷格和罗素的这方面的工作，在第五章我们已作过介绍。他们的想法是，既然仅从逻辑出发便能建立数学，这就表明数学对象是客观存在的了。

罗素集合悖论举例

弗雷格的工作，由于罗素悖论的出现而受到挫折。罗素与怀德海从头开始，建立了庞大的结构，总算实现了把算术还原为逻辑，或者说还原为集合论。但为了使自己的层次理论不太复杂，罗素最后提出了一个“可划归公理”。这么一来，就不是完全在逻辑上建立算术了。因而有的数学家评论说，在罗素的巨著《数学原理》中，数学不是建立在逻辑学上，而是建立在一种逻辑主义的乐园中。逻辑主义的后继者的研究，化简了罗素的理论，但却不像是逻辑，而越来越成为公理化的集合论。

康托尔

这样，逻辑主义本来想用自己的工作论证柏拉图主义，结果并没有成功。算术是划归到集合论了，但集合论的公理系统却有好几个，因而不能说是纯粹的逻辑了。而按柏拉图主义的观点，集合的性质是客观的，人们要做的只是认识它与描述它，而不是定义它。可是现在我们选哪种集合论来描述存在于“理念世界”的真正集合呢？当然，这并不足以使柏拉图主义者退却。他们可以说：总有一种是描述了真正集合的。这种正确的描述也许还未找到，也许就在这几种之中。但这样辩解时，柏拉图主义的吸引力就大为减弱了。

尽管逻辑主义的目的并未实现，但他们的工作证明了数学可以以集合论为基础，并导致了公理化集合论的蓬勃发展。

你知道有哪些数学成果是因为要完善逻辑主义而产生的吗？