【原】压轴题“一题精讲”(二十)：与角平分线相关的压轴题

本次研究的压轴题侧重点在于在角平分线背景下，如何合理添加辅助线助力问题解决。与角平分线相关的辅助线添线方法主要有以下几种：

添线方法1：利用角平分线的性质定理或逆定理，向角的两边作垂线

添线方法2：利用角平分线的“对称性”进行辅助线添加

①利用“截取”或“延长”的方法构造全等三角形，证明线段间的和差关系

②延长相交，构造等腰三角形

添线方法3：当出现角平分线、平行线、等腰三角形，结合角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质(判定)，其中任意两个量的组合能推出第三个量。

围绕以上的与角平分相关的添线方法，以下面一道典型例题进行呈现：

解法分析：本题的背景是角平分线与平行线的组合。因此在辅助线的添线方法中可以联想“添线方法3”，同时图中有着X型基本图形，因此可以借助X型基本图形搭建线段间的比例关系。

本题的第(1)问考察的是三角形的面积比，根据题意，这两个三角形的面积比等于底之比，再转化到图中的CE-AB-X型基本图形进行进一步计算。

本题的第(2)问考察的是线段间函数关系的建立，由于题目中已知了CG和BG的比值，结合“添线方法3”，因此通过延长AG，借助图中的X型基本图形和等腰三角形建立线段间的比例关系。

本题的第(3)问考察的是直角三角形的存在性，根据图形特点进行分类讨论。

1°当∠AGE=90°时，利用“添线方法3和2”，可得G为AP中点，利用CP-AB-X型基本图形，得G为BC中点。

2°当∠AEG=90°时，利用“添线方法1”进行辅助线添加，同时结合图中的“蝶形相似”的基本图形，通过角的转化可得△AGB为等腰三角形，从而求出BG的长度。

解法分析：本题的背景是垂径定理的应用。

本题的第(1)问是点F和点B重合的特殊情况，通过联结EO，根据垂径定理，可得EO垂直平分CD，再联结CO后，根据勾股定理，可求出CP的长。

本题的第(2)问是建立y关于x的函数关系式。解决本题的关键在于发现图中的一对相似三角形，即△EPH和△EOF，再结合第(1)问的相关结论，列出比例式，从而建立函数关系式，需要注意的是当B和F重合时，确定自变量取值范围的临界值。

本题的第(3)问是求△EPF的面积，由于∠PEF=90°，因此需要求出线段EP和EF的长度。题目背景是等腰三角形+平行，因此推断出CF是∠EFO的平分线，即过点P作AB的垂线，同时结合第(1)(2)问的部分结论，求出线段EP和EF的长度。

以下两道压轴题中以角平分线为背景条件。左边的压轴题侧重体现了角平分线的性质定理，右边的压轴题则体现了“角平分线分线段成比例定理”的证明过程，可以点击图片进行跳转，进行进一步学习。

END

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