「学霸系列」几何辅助线添加之截长补短模型11~15题建议收藏

第1题

（2018秋·丹江口市期末）（1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠ADC，∠BCD的角平分线交于AB边上的点E，求证：①CD＝AD+BC；②E是AB的中点；

（2）如图2，（1）中的条件“∠A＝∠B＝90°”改为“条件AD∥BC”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由．

【热门考点】全等三角形的判定与性质．

【解题思路】（1）如图1﹣1中，过点E作EF⊥CD于点F．利用角平分线的性质定理可得AE＝EB．利用全等三角形的性质证明AAD＝DF，CB＝CF即可．

（2）结论仍然成立．如图2中，在CD上截取DF＝DA，连接EF，利用全等三角形的性质证明即可．

【解答】（1）证明：如图1﹣1中，过点E作EF⊥CD于点F．

【解题技巧】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

第2题

（2018秋·江夏区期中）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）直接写出∠AFC的度数：　120°　；

（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．

【热门考点】全等三角形的判定与性质．

【解题思路】（1）根据三角形的外角的性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题；

（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CG＝CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF＝GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF＝FG，故得出EF＝FD；

（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AG＝AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA＝∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD＝CG即可解决问题；

【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

故答案为：120°；

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．

∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC

∠BAC，∠FCA

∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）

（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

∴∠FAC+∠FCA

（∠BAC+∠ACB）

（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【解题技巧】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．

第3题

（2017秋·吉县期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．

（1）求证：AD＝AG；

（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

【热门考点】全等三角形的判定与性质．

【解题思路】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，

（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．

【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，

∴∠ABD＝∠ACG，

在△ABD和△GCA中

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA，

理由：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB＝∠GAC，

又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，

∴∠AED＝∠GAD＝90°，

∴AD⊥GA．

【解题技巧】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

第4题

在△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，E为AB上的一点，联结EG、EF，且EG＝EF．

（1）说明BG与CF相等的理由．

（2）说明ED⊥GF的理由．

【热门考点】全等三角形的判定与性质．

【解题思路】（1）根据ASA证明△DFC≌△DGB可得结论；

（2）由△DFC≌△DGB得：DF＝DG，根据等腰三角形三线合一可得结论．

【解答】解：（1）∵AC∥BG，

∴∠C＝∠GBD，

在△DFC和△DGB中，

∴△DFC≌△DGB（ASA），

∴BG＝CF；

（2）由（1）得：△DFC≌△DGB，

∴DG＝DF，

∵EG＝EF，

∴ED⊥FG．

【解题技巧】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，主要考查学生的推理能力．

第5题

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A的平分线AE交DC于点E．求证：当BE是∠B的平分线时，AD+BC＝AB．

【热门考点】全等三角形的判定与性质．

【解题思路】在AB上取一点F，使AF＝AD，连接EF，根据平行线的性质可以得出∠AEB＝90°，通过证明△AED≌△AEF和△BCE≌△BFE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

【解答】证明：′在AB上取一点F，使AF＝AD，连接EF，

∵AE平分∠BAD，

∴∠5＝∠6

∠BAD．

∵BE平分∠ABC，

∴∠7＝∠8

∠ABC．

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴

∠ABC

∠BAD＝90°，

∴∠6+∠8＝90°，

∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°．

∴∠1+∠4＝90°．

在△AED和△AEF中，

∴△AED≌△AEF（SAS）

∴∠1＝∠2．

∴∠4+∠2＝90°，

∴∠4＝∠3．

在△BEC和△BEF，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴BC＝BF．

∵AB＝BF+AF，

∴AD+BC＝AB．

【解题技巧】本题考查了平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法作辅助线是关键．