微积分的发展历程：莱布尼兹及其对微积分的贡献

莱布尼兹是17世纪伟大的全才，在微积分的发明上是牛顿的竞争者。他1664年出生于德国莱比锡，6岁失去了父亲，但在这以前，他已从父亲那里承继了对历史的爱好。虽然莱布尼兹在莱比锡进了学校，但他主要是靠不断地阅读父亲的藏书自学。8岁时他开始学习拉丁文，12岁时已经掌握了它，能够准确地用拉丁文写诗。学了拉丁文，他又继续学习希腊文，也是主要靠自学。

莱布尼兹15岁时进了莱比锡大学学习法律。不过法律并没有占去他的全部时间，他开始广泛阅读哲学著作，知道了开普勒、伽利略和笛卡尔所发现的新世界。莱布尼兹了解到只有熟悉数学的人，才能懂得这个比较新的哲学，这样，他又把兴趣转向了数学。

1666年，莱布尼兹向莱比锡大学申请博士学位，但是被校方拒绝，理由是他当时还不到20岁。其实这只不过是个借口，实际的原因是他知道的法律知识比那些迟钝的学究们加在一起还要多。莱布尼兹厌恶莱比锡的教师们的偏狭，永远地离开了他的家乡，前往纽伦堡。1666年11月5日，在纽伦堡大学，凭借有关讲授法律的新方法的论文，他不仅被立刻授予博士学位，而且被请求接受该大学的法学教授职位。但是，莱布尼兹谢绝了——他的心中有更大的抱负。

1666年对牛顿来说是创造奇迹的一年，对莱布尼兹来说也是伟大的一年。在他称之为“中学生随笔”的《论组合的艺术》中，这个20岁的天才立志要创造出“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用的语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理”。这一思想实在是太超越他的那个时代了——直到20世纪的今天，人类借助高速计算机才真正实现莱布尼兹的梦想。

莱布尼兹那篇使他获得博士学位的论文得到了美因茨选帝侯的赞赏，这使得他被委以各种重任，先是被指定去修改法典，然后是去做外交官。一直到1690年，莱布尼兹对他那个时代的现代数学几乎还是一无所知。当时他26岁，在巴黎的外交事务中结识了物理学家克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695），惠更斯送给莱布尼兹一份他自己的关于钟摆的数学著作。莱布尼兹被数学方法在行家手里产生的力量迷住了，他请求惠更斯给他上课。惠更斯也看出莱布尼兹具有第一流的数学头脑，高兴地答应了。那时莱布尼兹已经用他自己的方法——普遍符号语言的侧面——作出了一系列的发明。其中一个是远比巴斯卡的机器优越的计算机器，巴斯卡的计算机器只能做加法和减法，莱布尼兹的机器除加减法外，还能做乘法、除法和开方。现在，有了惠更斯的指导，莱布尼兹很快就发现了他自己——一个天生的数学家！

1673年1月到3月，莱布尼兹作为选帝侯的外交顾问出访伦敦。不过繁忙的外交事务并没有使他忘掉数学，在伦敦期间，他拜访了一些英国的数学家，参加了皇家学会的会议。他在那儿展出了他的计算器，也向英国的数学家学到了有关无穷级数的知识。这引发了莱布尼兹的极大兴趣，他立刻利用这种方法做出了关于π的表达式：

惠更斯对莱布尼兹离开巴黎期间做出的工作非常高兴，他鼓励莱布尼兹继续做下去。莱布尼兹把他所有的空闲时间都用在数学上了，在1676年离开巴黎去汉诺威为布伦斯威克公爵服务之前，已经做出了一些微积分的基本公式，并且发现了“微积分学的基本定理”。现在，这些公式对于微积分的初学者已经很容易了，但是它们却曾使莱布尼兹和牛顿在发现正确的途径之前苦思良久、反复试探。这儿有一个例子可以说明微积分走过的曲折道路。如果u和v分别是x的函数，那么怎样以uv相应于x的变化率表示u和v分别相应于x的变化率呢？用符号来说就是，之间的关系是什么？莱布尼兹一度认为应该是，这与正确的形式毫无相似之处。

莱布尼兹一生余下的40年是在为布伦斯威克家族的毫无价值的服务中度过的。作为这个家族的图书管理人，他有充足的空闲时间探讨自己喜爱的学问。结果是他写下的关于各种课题的论文几乎堆成了山。1682年，他创办了《博学学报》，并任主编。他的大部分数学论文发表在这个杂志上，这个杂志在欧洲大陆广为流传，从而为莱布尼兹赢得了广泛的声誉。1700年，莱布尼兹创办了柏林科学院，并且致力于在德累斯顿、维也纳和圣彼得堡创办类似的学院。

莱布尼兹生命的最后7年，是在别人展开的他和牛顿谁最早独立发明微积分的争论的煎熬中度过的。历史的事实是：他们都是独立地发现了微积分。牛顿发现在先，而莱布尼兹发表得早。由于狂热的英国人拒绝接受莱布尼兹的微积分符号系统，从而给英国数学带来了巨大的危害；而在欧洲大陆，经过莱布尼兹追随者的努力，微积分得到了迅速的发展。