空间中的向量与立体几何

1.如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

     (1)求证：AB∥FG；

 

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

知识点：空间中的向量与立体几何

解题答案：

【答案】

解：(1)略…………………………4分

(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.

如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)．     设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．

设直线BC与平面ABF所成角为α，则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.      设点H的坐标为(u，v，w)．

因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)，

即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)．     所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因为n是平面ABF的法向量，所以n·＝0，  即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.

解得λ＝，所以点H的坐标为.  所以

PH＝ ＝2. ………………………………12分