学会这几种极限的解法——解决有关极限计算的问题

极限的思想，要追溯到古代时期，例如古希腊学者安提芬在研究“化圆为方”时提出的穷竭法，中国魏晋时代学者刘徽提出的割圆术，以及截丈问题等都在不经意间用到了极限的思想。

刘徽

但是有关极限的计算，你们都知道多少呢？我们一起来看看吧！

极限分为数列极限和函数极限：

第一：数列极限（趋近于无穷）。

注意：数列极限中趋于无穷一般指正无穷。

在高中我们学习过数列，知道数列的表示方法以及通项公式，数列极限就是求一般项，当趋近于无穷时，得到一个数A（常数），此时我们称该数列极限收敛于A，反之则发散，如下所示：

第二：函数极限：（函数极限趋于无穷、也趋于一个常数）。

注意：其中无穷包括：正无穷、负无穷。

第三：极限的运算法则（+ - × ÷）

注意：只有极限各自存在时，才能运用法则进行计算。

第四：极限的运算方法

eg1:直接代入法。

极限在表达式中，一般指变量无意义的点，当趋近值可以直接带入时，则直接计算即可，如下所示：

方法总结：多项式函数与分式函数（分母不为0）用直接代入法求极限。可得以上极限等于 -2 。

eg2: 0/0型约趋零因子法。

方法总结：当趋近值带入分子和分母后，满足0/0型时，要先进行化简，然后使得式子有意义时，即可带入趋近值进行计算。

eg3 : 最高次幂法（无穷小分出法）

在解决这一类问题时，要注意找趋近于零的式子，也就是我们所说的无穷小量。

eg4 : ∞-∞通分法。

我们在计算极限时，往往会遇到这一类问题，此时一定要学会式子通分，然后再观察式子进行计算。

eg5:根式有理化法。

这里的根式有理化一般是进行分子有理化或者是分母有理化，如果遇到无理数时，可以往这方面考虑。

eg6:复合函数求极限法则

复合函数求极限要注意的是区分什么样的函数为复合函数。

eg6:利用夹逼准则（两边夹法则）求极限

说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。

注：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，这道题不可以。

eg7:应用两个重要极限求极限

例如下面例题的运用（一定要注意趋近值与各部分的关系），一定要满足（1+0）的∞次。

注：第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现，考试中，一般考察第二个重要极限。

eg8:用对数恒等式求极限（一般在式子里有对数符号时可以考虑）。

对数恒等变换在高中已经学习过，这里就不细讲了，有不懂的可以私信或者留言。

eg9:用等价无穷小量代换求极限

用等价无穷小量时，一定要注意分子或者分母的形式，如果是加法形式，不能进行代换，必须是乘积的形式。

如下所示：题目中将ln(1+x)～x以及分子进行了代换，进而求得极限。

eg10:洛必达法则求极限

要满足式子（0/0型，∞/∞）

思想：求导再求导，直到可以代入趋近值

如下所示，在计算极限的过程中，使用求导的方法，直到有意义，即可带入趋近值。

提醒：在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件。