柯西不等式的典型应用归纳

柯西不等式的典型应用归纳

柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

1.柯西不等式的一般形式为：

2. 柯西不等式的证明：

证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法：

3. 柯西不等式在解题中的应用

3.1证明恒等式

利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。

3.2证明不等式

很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。

因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

3.3证明条件不等式

3.4解方程组

用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。

3.5求函数的极值

柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由

反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。

下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。

3.6利用柯西不等式解三角问题与几何问题

三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。

4.推导点到直线的距离公式

在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。当遇到类似的题目，应用柯西不等式时，尽量联系已知条件，转化成柯西不等式的形式来求解。