【原】专题12 一元二次方程（专题测试） -中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题12 一元二次方程

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（贵州遵义市·中考真题）已知x₁，x₂是方程x²﹣3x﹣2＝0的两根，则x₁²+x₂²的值为（　　）

A．5   B．10  C．11  D．13

【答案】D

【分析】

利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：根据题意得

所以

故选：D．

2．（广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）

A．x（x+1）＝110   B．x（x﹣1）＝110

C．x（x+1）＝110  D．x（x﹣1）＝110

【答案】D

【分析】

设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．

【详解】

解：设有x个队参赛，则

x（x﹣1）＝110．

故选：D．

3．（山东聊城市·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ）．

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【分析】

按照配方法的步骤进行求解即可得答案.

【详解】

解：

移项得，

二次项系数化1的，

配方得

即

故选：A

4．（内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的方程kx²﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜1    B．k≤1   C．k＜1且k≠0   D．k≤1且k≠0

【答案】B

【详解】

解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx²-6x+9=0有实数根，
∴△=（-6）²-4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选B．

5．（贵州遵义市·中考真题）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm²，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600    B．（30﹣x）（40﹣x）＝600

C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600  D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600

【答案】D

【分析】

设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，

根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

故选：D．

6．（山东泰安市·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）

A．，21    B．，11  C．4，21  D．，69

【答案】A

【分析】

根据配方法步骤解题即可．

【详解】

解：

移项得，

配方得，

即，

∴a=-4，b=21．

故选：A

7．（贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）已知关于x的一元二次方程(m－1)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（   ）

A．m＜2   B．m≤2  C．m＜2且m≠1   D．m≤2且m≠1

【答案】D

【分析】

根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

解：因为关于x的一元二次方程x²－2x＋m＝0有实数根，所以b²－4ac＝2²－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x²＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．

8．（内蒙古呼和浩特市·中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）

A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则

B．当时，y有最小值

C．对应的函数值比最小值大7

D．当时，图象与x轴有两个不同的交点

【答案】C

【分析】

求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.

【详解】

解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，

表达式为：=，

若过点（4，5），

则，解得：a=-5，故选项正确；

B、∵，开口向上，

∴当时，y有最小值，故选项正确；

C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；

D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，

故选C.

9．（浙江中考真题）已知关于x的一元二次方程x²+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

【答案】A

【分析】

先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．

【详解】

解：∵△＝b²﹣4×（﹣1）＝b²+4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

10．（河南中考真题）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为(  )

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．

【详解】

设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，

∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元

即2019年我国快递业务收入为亿元，

∴可列方程：，

故选C．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（山东烟台市·中考真题）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．

【答案】且．

【分析】

根据一元二次方程有两个不相等的实数根得二次项系数不等于零,△大于零,求解不等式组即可.

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-1=0有两个不相等的实数根,即,

解得：k＞0且k≠1.

12．（四川宜宾市·中考真题）一元二次方程的两根为，则________________

【答案】

【分析】

根据根与系数的关系表示出和即可；

【详解】

∵，

∴，，，

∴，，

∴，

=，

=．

故答案为．

13．（江苏南通市·中考真题）若x₁，x₂是方程x²﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x₁²﹣2x₁+2x₂的值等于_____．

【答案】2028

【分析】

根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x₁²-4x₁=2020，x₁+x₂=4，代入原式=x₁²-4x₁+2x₁+2x₂=x₁²-4x₁+2（x₁+x₂）计算可得．

【详解】

解：∵x₁，x₂是方程x²﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，

∴x₁+x₂＝4，x₁²﹣4x₁﹣2020＝0，即x₁²﹣4x₁＝2020，

则原式＝x₁²﹣4x₁+2x₁+2x₂

＝x₁²﹣4x₁+2（x₁+x₂）

＝2020+2×4

＝2020+8

＝2028，

故答案为：2028．

14．（四川眉山市·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为______．

【答案】

【分析】

由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．

【详解】

解：由方程可知

，

．

故答案为：

15．（山东威海市·中考真题）一元二次方程的解为__________．

【答案】x=或x=2

【分析】

根据一元二次方程的解法解出答案即可．

【详解】

当x－2=0时,x=2,

当x－2≠0时,4x=1,x=,

故答案为:x=或x=2．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（甘肃兰州市·中考真题）解方程：．

【答案】，.

【分析】

先找出a，b，c，再求出b²-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．

【详解】

a=3，b=-2，c=-2，

b²-4ac=（-2）²-4×3×（-2）=28>0，

∴x==，

，.

17．（辽宁锦州市·中考真题）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

每千克售价x（元）	…	25	30	35	…
日销售量y（千克）	…	110	100	90	…

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   （2）30元   （3）40元；1600元

【分析】

（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；

（2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程；

（3）构造，利用二次函数的最大值问题解决．

【详解】

解：（1）设一次函数表达式为，

将代入，得

解得

．

（2）根据题意，得，

整理，得，

解得（不合题意，舍去）．

答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．

（3）方法1：

设日销售利润为w元．

．

，

抛物线开口向下，

又，

当时，w随x的增大而增大．

当时，w有最大值，（元）．

答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．

方法2：

设日销售利润为w元．

，

，

抛物线开口向下，对称轴为直线．

当时，w随着x的增大而增大，

当时，w有最大值，（元）．

答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．

18．（广东中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．

（1）求，的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析

【分析】

（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组

的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；

（2）将a、b的值代入关于x的方程x²＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．

【详解】

解：由题意列方程组：

解得

将，分别代入和

解得，

∴，

（2）

解得

这个三角形是等腰直角三角形

理由如下：∵

∴该三角形是等腰直角三角形．

19．（广西玉林市·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．

【答案】（1）k>-1；（2）1

【分析】

（1）根据∆>0列不等式求解即可；

（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.

【详解】

解：（1）由题意得

∆=4+4k>0，

∴k>-1；

（2）∵a+b=-2，ab=-k，

∴

=

=

=

=1.

20．（上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

【答案】（1）504万元；（2）20%．

【分析】

(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；

(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)²，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．

【详解】

解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，

故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意，得：350(1+x)²=504，

解得：x₁=0.2=20%，x₂=﹣2.2(不合题意，舍去)．

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．