前情提要在发布于知乎的前两篇中，我们先通过对SG实验的分析，引入了叠加态的概念（态叠加原理），介绍了量子力学中测量的一些关键特征以及相应的理想模型（投影测量假设）。随后，我们使用狄拉克符号介绍了量子力学的另外两个基本假设，薛定谔方程（幺正演化假设）和力学量算符假设。 至此，进一步讨论各种量子现象的工具箱原则上已经齐备——好吧，实际上还有多体态空间及与之相关的全同粒子问题有待介绍，但一方面全同粒子“假设”相对于其它假设不够“基本”——量子场论中它就不再是假设而是推论，但其它假设仍然是基本的——另一方面，我们是时候看一看具体的问题来巩固已经学到的东西，所以接下来我们将把视角转向一个试验场：一维单粒子问题。 单粒子近似首先让我们分解一下问题，什么叫一维单粒子问题？ 一维，即限定粒子只在一个方向上运动，对这种问题我们并不陌生，小学数学课上我们就已经开始和追及相遇问题斗智斗勇，初次认识了运动学。 那单粒子呢？这我们也不陌生，在学习力学时我们一开始接触的就是一个物体的质心——一个粒子是怎么受力的。但这其实包含一种近似或者说抽象，牛顿第三定律告诉我们，大地吸引苹果，而苹果也同样吸引着大地，原则上讨论受力问题必须讨论至少两个物体——两个物体互相改变运动状态，力也随之改变。但是从来没有人考虑过苹果对地面的影响，这是因为牛顿第二定律告诉我们力的作用效果是和质量有关的，大地庞大的质量使得苹果对其运动状态的改变微乎其微，于是我们可以强行将大地固定住——选为惯性参考系，只考虑苹果相对于它的运动。这可以称为单苹果近似。 在量子力学中，虽然我们不能再照搬牛顿定律，但道理是相同的。比如我们研究氢原子时，可以将质子当成一个经典的参考点，只考虑电子的量子态在从这个固定参考点发出的库伦力场（准确地说，我们将使用势场而不是力场）下的变化，实验表明，在这种单粒子近似下可以对氢原子光谱给出非常精确的预言。 从位置态到波函数位置投影算符物理上，我们的测量一个量总可以通过判断其是否落在某个区间中来实现。在量子力学中，对我们先前介绍的本征值离散的量，区间判断较为简单。如对力学量，非简并本征值为，只要我确定测量值在区间 其中，，那态就被投影到了态空间的一个子集中，又由于这个区间只包含一个本征值： 可以确定测得了。上式的转化可以由相应的投影算符实现： 所有投影算符的叠加就是单位算符——把态空间投影到态空间自身，即我们讲过的完备性关系。 而对于位置这样连续的量——对我们考虑的一维问题，位置范围即为实数集——区间可以无止尽地划分下去，不断逼近一个点。实际上，我们总要在有限步骤内结束测量，故我们实际能得到的位置是一些有限小数。 如果我们确定粒子在区间中，意味着原本的态被投影到了态空间的一个子集中，将这个投影算符记为，再次用它投影不改变这个态： 根据线性性，我们可以将这个投影算符改写为许多“无穷小投影”的叠加： 仿照算符的展开，形式上将其写为 即，位置投影算符的密度为 【用数学的话说，是一个值为投影算符的测度（projection-valued measure）】根据投影算符的物理意义，上式诱惑我们将认同为位置本征态，但它并不是真正的态——量纲就不对，态无量纲，而应该具有的量纲。 考虑作为单位算符的对所有位置的投影算符： 对任意态有 形式上这就像我们讲过的用一组完备基矢去展开一个态，只是“连续化”了，从求和变成了积分。继续左乘有 记，则有 即函数在被加权后，积分得到了其在的值，要怎样才能有这种“筛选性”呢？ “函数”数学研究表明，是一种极端的尖峰分布。如果要写出其“函数值”，那么有 记，历史上狄拉克最早引入这种“函数”，称为狄拉克函数——显然，由于，函数不是函数，而是一种分布。我们不拟涉及数学上的分布理论，今后仍将其称为函数。 筛选性： 是函数的基本性质，它的其余性质都由此而来。比如上面的函数值是怎么得到的呢？设为一分段函数，在区间上为，区间外为，则当函数的“中心”有 上式对任意小的区间都成立，故当，。另一方面若，则对任意小区间有 可知不可能是任何实数，只能为。由此我们也知道了函数是偶函数，其它性质我们不多赘述。 位置本征态，波函数将与相比，两者都体现了不同取值之间的正交性，但是前者却并不归一，而是归“无穷”——提醒我们不是真正的态。 但只要我们足够小心地对待从离散到连续要付出的代价，将称为位置本征态也无妨。用如下本征方程定义与之相应的位置算符： 我们称这样的本征值连续变化的情况为算符具有连续谱，而之前介绍的本征值离散的情况称为算符具有离散谱，今后我们还会见到一个算符既有离散部分、又有连续部分的混合谱。 存不存在简并呢？经典地看，位置无法完全确定粒子的状态——在一个位置上可以有无穷多种速度，或者说动量——但我们将看到，在量子力学中情况完全不同，位置的唯一一种简并就是考虑其它方向的位置： 但既然我们考虑的是一维问题，那位置本征值就是非简并的。 综上，可以将投影算符密度的积分 解释为位置本征态的完备性。而 解释为态的展开式。其中展开系数就称为波函数。对上式左乘有 可见，对的积分即为总概率，确实就是你可能听说过的那个波函数。 位置表象我们称用波函数表示态为位置表象，尽管并不是真正的基矢——我们的态空间并非是不可数无穷维，但形式上我们还是可以把波函数当做是连续化了的列向量，进而把算符表示为连续化了的矩阵。 对我们刚引入的位置算符，其“矩阵元”（以后我们就不再加引号了！）为 就如我们说过的，算符在自身表象下是对角矩阵。 参考系？还有一个问题不知你有没有意识到？我们怎么给位置本征值赋值——位置是相对于什么的？ 答案是可以使用量子效应较弱的系统作为参考系，如实验室中的宏观仪器。比如，我们关心的往往是粒子在外加的势场中的行为，其可以看成是经典的场，且粒子的反作用可以忽略。于是粒子的位置就可以相对于这个经典场来定义。这可以称为外场近似——当然，近似的合理性最终要由实验来验证。 如果我们不得不考虑参考系本身的量子效应呢？这一课题称为量子参考系，是一个和量子引力相关的前沿方向。 连续的位置？你可能听说过“空间量子化”、“普朗克长度是最小长度”之类的说法，为什么这里引入的位置是连续的？ 首先需要强调的是，各种以普朗克的名字做前缀的量是一种自然单位，而单位不等于最小（或最大）！显然，用国际单位制不意味着一米就是最小的长度，而只意味着你要用“XX米”来表达长度——用普朗克长度做单位，也只意味着你要用“XX普朗克长度”来表达长度。 其次，虽然确实有一些量子引力理论认为空间可能是离散的，普朗克长度确实是最小的长度，但是这些理论一方面并没有得到实验验证，另一方面就算被验证了，也只有在高能下才能验证，在低能下我们仍可以认为空间是连续的——某种意义上，积分比求和好算是理由之一。（【注】普朗克质量其实只有，对微观粒子而言很大，但显然不是什么最大的质量——蚊子的质量大约是其倍） 在下一篇中，我们将通过空间平移引入动量，补齐讨论空间运动的拼图。 |
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