【原】专题27 菱形与梯形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题27 菱形与梯形

【知识要点】

知识点一 菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

1、 菱形具有平行四边形的所有性质；

2、菱形的四条边都相等；

几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD

3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC

3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边相等的四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝

知识点二 梯形

梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角

梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形

.

等腰梯形性质：

1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；

2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；

3）等腰梯形的两条对角线相等；

4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

等腰梯形判定：

1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面积公式：面积=×（上底+下底）×高

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；

3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；

4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

6）过上底中点平移两腰。

【考查题型】

考查题型一探索菱形的性质

典例1．（湖北黄冈市·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（   ）

A．                      B．                      C．                      D．

【答案】B

【提示】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．

【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，

∵菱形的周长为16，

∴AB＝4，

在Rt△ABH中，sinB＝＝，

∴∠B＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝150°，

∴∠C：∠B＝5：1．

故选：B．

变式1-1．（甘肃金昌市·中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（   ）

A．                      B．                     C．                     D．

【答案】C

【提示】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．

【详解】如图，连接AC

四边形ABCD是菱形

如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，

是等边三角形

故选：C．

变式1-3．（贵州贵阳市·中考真题）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（  ）

A．5                           B．20                          C．24                         D．32

【答案】B

【提示】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．

【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：B．

变式1-4．（黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）

A．72                         B．24                          C．48                         D．96

【答案】C

【提示】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴菱形的面积.

故选：C.

变式1-4．（山东日照市·中考真题）已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　）

A．8                     B．8                           C．4                     D．2

【答案】D

【提示】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．

【详解】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，

∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，

∵菱形的周长为8，

∴边长AB＝2，

∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，

∴菱形的面积＝AC·BD＝×2×2＝2．

故选：D．

变式1-5．（贵州遵义市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A．                       B．                        C．4                           D．

【答案】D

【提示】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．

【详解】解：记AC与BD的交点为，

菱形,

 

 

 

 菱形的面积

 

 菱形的面积

 

 

故选D．

考查题型二证明四边形是菱形

典例2．（湖南娄底市·中考真题）如图，中，，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、．

（1）试判定四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：

【答案】（1）四边形为菱形，理由详见解析；（2）详见解析

【提示】

（1）根据题意可证明，再由可得到四边形是菱形；

（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．

【详解】

解：（1）四边形为菱形，理由如下

由可得，从而

设与相交于点O

∵点E与点F关于对称

∴且

在和中

∴

∴，又

∴四边形为菱形，

（2）∵，据（1）C

∴

又∵∴  

∴．

变式2-1．（山东滨州市·中考真题）如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC．CD、DA于点P、M、Q、N．

（1）求证：PBE≌QDE；

（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【提示】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP=EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM=EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED，AB∥CD，
∴∠EBP=∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，

，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：

∵△PBE≌△QDE，
∴EP=EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM=EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．

变式2-2．（江苏宿迁市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．

【答案】见解析

【提示】

由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，

在△ABE和△ADE中，

，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=DE，

同理可得△BFC≌△DFC，

可得BF=DF，

∵AF=CE，

∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴BE=BF，

∴BE=BF=DE=DF，

∴四边形BEDF是菱形．

考查题型三菱形性质与判定的综合

典例3．（黑龙江绥化市·中考真题）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（    ）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

【答案】D

【提示】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE =∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG△FCD，推出，即可判断④．

【详解】∵在中，为斜边的中线，

∴DA=DB=DC，

∵于点E，且，

∴AE=EC，

∴四边形ADCF为菱形，

∴FC∥BD，FC=AD=BD，

∴四边形DBCF为平行四边形，故②正确；

∴DF=BC，

∴DE=BC，故①正确；

∵四边形ADCE为菱形，

∴CF=CD，

∴∠CFE=∠CDE，

∵∠CDE+∠EGC=180，而∠FGE+∠EGC=180，

∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，

∴EF=EG，故③正确；

∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，

∴△FEG△FCD，

∴，即，

∴，

∴BC =DF，故④正确；

综上，①②③④都正确，

故选：D．

变式3-1．（内蒙古中考真题）如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论：

①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（    ）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

【答案】D

【提示】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据，求出BD=，即可判断④.

【详解】由题意知：MN垂直平分AB，

∴OA=OB，ED⊥AB，

∵OD=OE，

∴四边形ADBE是菱形，

∵，，

∴OF∥BC，AF=CF，

∴FG是△ACD的中位线，

∴，故①正确；

∵四边形ADBE是菱形，

∴AD=BD，

在Rt△ACD中，,

∴ ，故②正确；

∵FG是△ACD的中位线，

∴点G是AD的中点，

∴，

∵，

∴，故③正确；

∵AC=6，

∴AF=3，

设OA=x，则OF=9-x，

∵，

∴，

解得x=5，

∴AB=10，

∴BC=8，

∵，

∴，

解得BD=，

∴四边形的周长为.

故选：D.

变式3-2．（四川南充市·中考真题）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（   ）

A．                      B．                      C．                     D．

【答案】B

【提示】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，

∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，

∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，

∵点E是线段BC的中点，

∴EF、EG都是△OBC的中位线，

∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，

∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝ =S；

故选：B．

变式3-3．（广东中考真题）已知菱形，是动点，边长为4， ，则下列结论正确的有几个（   ）

①；              ②为等边三角形 

③              ④若，则

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

【答案】D

【提示】①易证△ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件BE=AF可证△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出结论.

【详解】

在四边形是菱形中，

∵，

∴

∵

∴

∴△ABC为等边三角形，

∴

又，

∴，故①正确；

∴，

∴∠FCE=∠ACB=60°,

∴为等边三角形，故②正确；

∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，

又∵∠CEF=∠CAB=60°,

∴∠BEC=∠AGE，

由①得，∠AFC=∠BEC，

∴∠AGE=∠AFC，故③正确；

∴∠AEG=∠FCG

∴△AEG∽△FCG，

∴，

∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG

∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，

∴△ACF∽△FCG，

∴

∴

∵AF=1，

∴BE=1，

∴AE=3，

∴，故④正确.

故选D.

考查题型四探索梯形的性质

典例4．（广东茂名市·九年级一模）如下图所示，在梯形中，已知，的面积为，则梯形的面积是（    ）

A．60                         B．70                          C．80                         D．90

【答案】C

【提示】

设△ABO的面积为S，由梯形的性质可得，S_△CDO=9S，由AB∥CD可得S_△ABD∶S_△ACD= ，S_△ACD=3（15+S），又S_△ACD= S_△ADO+ S_△CDO=15+9S，得到方程，求得S的值，即可求得梯形的面积．

【详解】

解：设△ABO的面积为S，

∵S_△ABD= S_△ABC，

∴S_△AOD= S_△BOC=15，

∵AB∥CD，

∴，

∵，

∴S_△ABO∶S_△CDO=，

∴S_△CDO=9S，

∵AB∥CD，，

∴S_△ABD∶S_△ACD= ，

∴S_△ACD=3（15+S），

又∵S_△ACD= S_△ADO+ S_△CDO=15+9S，

∴3（15+S）=15+9S，

解得：S=5cm²，

S_梯形ABCD= S_△ADO+ S_△AOB+ S_△COD+ S_△BOC=15+S+9S+15=80（cm²），

故答案为：C．

考查题型五梯形性质与判定的综合

典例5．（江苏南通市模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，点E在CB延长线上，BE＝AD，连接AC、AE．

⑴ 求证：AE＝AC；

⑵ 若AB⊥AC， F是BC的中点，试判断四边形AFCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）四边形AFCD是菱形，理由见解析

【提示】

（1）首先连接BD，根据等腰梯形的性质，可得AC=BD，易得四边形AEBD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，即可得AE=BD，继而证得结论；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中点，根据等腰梯形的性质，易求得∠ACB=30°，继而可证得AF=FC=CD=AD，则可判定四边形AFCD是菱形．

【详解】

（1）连接BD

∵梯形ABCD是等腰梯形      

∴AC＝BD 

∵BE＝AD， AD∥BC         

∴四边形AEBD是平行四边形 

∴AE＝BD，  

∴AE＝AC  

（2）四边形AFCD是菱形， 理由是：

∵AB⊥AC， F是BC的中点

∴AF＝CF，

∴∠FAC＝∠FCA

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA  

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠FCA

∴∠DCA＝∠FAC    

∴AF∥DC  

∵AD∥BC，AF∥DC  

∴四边形AFCD是平行四边形  

又AD＝DC

∴四边形AFCD是菱形

变式5-1．（上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=7，点E在边AD上，，过点E作EF//AB交边BC于点F.

（1）求线段EF的长；

（2）设，，联结AF，请用向量表示向量.

 

【答案】（1）9；（2）

【提示】

(1)过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，由DE：AE=2：3，即可求得，然后在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，CD=7，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF的长．

(2)根据（1）中的比例关系写出向量即可.

【详解】

解：(1) 过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，
∵,∴.
又∵EF∥AB，AB∥CD，AB=12，CD=7，
∴CD=MF=GB=7，
∴AG=5.

∴EM=AG=2.
∴EF=EM+MF=9．

(2)∵ ，，由（1）知，

变式5-2．（陕西九年级零模）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

【答案】44cm

【解析】

解：如图，

设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G，

由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，

∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，

∴．

∵EF∥CD，∴△BEM∽△BAH．

∴，即，解得：EM=12．

∴EF=EM＋NF＋BC=2EM＋BC=44（cm）．

答：横梁EF应为44cm．

根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．

变式5-3．（景县模拟）（材料学习）

小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰．

如图（1），在等腰三角形纸片上，画底边的平行线可得到一个梯形．由可知，于是，又，从而．

定义：像梯形，两腰相等的梯形称为等腰梯形．

几何语言：如图（1），在梯形中，，梯形是等腰梯形．

如果把图（1）的等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，那么与重合，由于，可知点与点重合，如图（）2，于是．由此，我们可以得到如下结论：

（1）等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴，

（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等，

（3）等腰梯形的对角线相等．

（探究归纳）

利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，我们还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形?

（1）如图（3），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形；

归纳提炼1﹔通过（1）的证明可知：                _的梯形是等腰梯形；

（2）如图（4），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形．

归纳提炼2：通过（2）证明可知：_                _的梯形是等腰梯形；

【答案】（1）详见解析；在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）梯形是等腰梯形；归纳通过（2）的证明可知：对角线相等的梯形是等腰梯形；

【提示】

（1）分别延长交于点，由平行线的性质可得：∠EAD＝∠B，∠EDA＝∠C，根据已知条件和等角代换可得：∠EAD＝∠EDA，由等角对等边的性质可得：EA＝ED，根据线段和差可得AB＝CD，进而即可求证结论；

（2）过点作的平行线交的延长线于点，易证，由全等三角形的性质和等量代换可得：DE＝BD，根据等边对等角的性质和等角代换可得：∠DBC＝∠ACB，进而由全等三角形的判定可证△ACB≌△DBC，进而可得：AB＝CD，进而即可求证结论．

【详解】

解：

（1）如图（1），分别延长交于点，

在梯形中，

，

，

梯形是等腰梯形；

归纳提炼1：通过（1）的证明可知：

在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

（2）如图（2），过点作的平行线交的延长线于点，

易证，

可证得，

梯形是等腰梯形；

归纳提炼1：通过（2）的证明可知：

对角线相等的梯形是等腰梯形；

考查题型六利用辅助线解决梯形计算问题

典例6．（雷州市模拟）已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则该梯形的小底与大底的长度之比是（    ）

A．                      B．                      C．                       D．

【答案】A

【提示】先画出图形，设该梯形的小底与大底的长度分别为，，利用勾股定理求得与之间的关系，从而求出梯形的小底与大底的长度比．

【详解】

解：设该梯形的小底与大底的长度分别为，，过点作，交的延长线于点，

四边形是平行四边形，

，，，，

由勾股定理得，即，

整理得，利用十字相乘法分解因式得

或

即或

为线段的长，

，

即，

故选：．

变式6-1．（石家庄市模拟）如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（　　）

A．24                   B．30                    C．45                         D．

【答案】A

【提示】

过C作CH⊥AB于H，推出四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，求得∠BCH＝30°，设BC＝x，则CD＝12﹣x，得到AH＝12﹣x，BH＝x，CH＝x，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．

【详解】

解：过C作CH⊥AB于H，

∵AB⊥AD，CD⊥AD，

∴∠A＝∠ADC＝∠AHC＝90°，CD∥AB，

∴四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，

∴∠DCH＝90°，CD＝AH，

∵∠BCD＝120°，

∴∠BCH＝30°，

设BC＝x，则CD＝12﹣x，

∴AH＝12﹣x，BH＝x，CH＝x，

∴四边形ABCD的面积＝（CD+AB）·CH＝（12﹣x+12﹣x+x）×x，

∴四边形ABCD的面积＝﹣（x﹣8）²+24，

∴当x＝8时，四边形ABCD的面积有最大值24，

即四边形ABCD的面积可能是24，

故选：A．

变式6-2．（湖北随州市模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是（  ）

A．1                           B．                        C．                        D．0

【答案】A

【提示】

先得出从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，一共有四种情况，再证明这四种情况下得出的四边形都是等腰梯形，然后根据概率公式即可得出答案．

【详解】

解：如图，从正五边形ABCD的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，可得到四边形BCDE，CDEA，DEAB，EABC，ABCD，一共四种情况．
连接BE，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=DE=CD=AB=AE，
根据多边形的内角和（n-2）×180°得：
∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=，

∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠A）=36°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°，
∴∠C+∠CBE=180°，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是等腰梯形．
同理，可证四边形CDEA，DEAB，EABC，ABCD也都是等腰梯形，
∴从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是：=1．
故选：A．

变式6-3．（江苏苏州市模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm²，则梯形ABCD的面积为（　　）

A．8cm²                      B．12cm²                    C．16cm²                    D．20cm²

【答案】C

【提示】

如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，由此再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可．

【详解】

如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，

∵EF是梯形ABCD的中位线，

∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，

∴AM⊥EF，AM＝MN，

∵△BEF的面积为4cm²，

∴EF×AM＝4，

∴EF×AM＝8，

∴梯形ABCD的面积为(AD+BC)×AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm²，

故选：C．

变式6-4．（甘肃兰州市·九年级期末）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为(   )

A．30°                        B．45°                        C．60°                        D．75°

【答案】B

【提示】

作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．

【详解】

如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AB=DC，∠B=∠C，

∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，

∴AEFD为矩形，

∴AE=DF，AD=EF，

∴△ABE≌△DCF，

∴BE=FC，

∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，

∴BE=6，

∵AE=6，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°.

故选B.

变式6-5．（四川成都市期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC ＝∠C，BD平分∠ABC，AD＝2，∠C＝60°，则BC＝__________．

【答案】4

【提示】

过点作，可得四边形是平行四边形、是等边三角形，从而可求得，的长，即可求解．

【详解】

解：根据平分，即，

因为，则，

，

，

过点作，

则四边形是平行四边形，

∴，，

∴，

∴是等腰三角形，

∵ ，

∴是等边三角形，

∴，

∴

故答案为：4．

变式6-6．（山东菏泽市模拟）已知：等腰梯形ABCD外切于为⊙O，AD∥BC，若AD＝4，BC＝6，AB＝5，则⊙O的半径的长为___．

【答案】

【提示】

根据题意画出图形，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，然后由题意易得AE的长即为⊙O的直径，进而求解即可．

【详解】

解：过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图所示：

等腰梯形ABCD外切于为⊙O，AD∥BC，

AE为⊙O的直径，

 AD＝4，BC＝6，AB＝5，

BE=1，

在Rt△ABE中，，

⊙O的半径的长为；

故答案为．