四边形

1 基本简介

凸四边形

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。

平行四边形(包括：普通平行四边形,矩形,菱形,正方形)。

梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)。

凸四边形的内角和和外角和均为360度。

凹四边形

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。不做重点研究。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

折四边形

四个顶点在同一平面内，且有一组对边相交的四边形。

2 平行四边形

定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。

性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

判定

（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）

（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）

（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）

（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”）

（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）

面积

平行四边形的面积公式：底×高用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，

则S=ah

周长

平行四边形的周长=2×两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，

则C=2（a+b）

3 菱形

定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).

性质

①菱形的四条边都相等；

②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.

判定

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四条边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形

④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

面积

①对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；

②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx

周长

菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，

则C=4a

4 矩形

定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle).

性质

①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线相等且都等于90°.

注意：矩形也具有平行四边形的一切性质.

判定

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

②四个角都相等的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

⑤有三个角是直角的四边形是矩形.

面积

设矩形的两条邻边长分别为a,b，则面积为ab.

周长

设矩形的两条邻边长分别为a,b，则周长为(2a+2b).

5 正方形

定义

有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。

性质

①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

判定

因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以判定正方形有四个途径：

①有一组邻边相等的矩形是正方形。

②有一个角是直角的菱形是正方形。

③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

面积

①正方形面积=边长的平方S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）。

②对角线乘积的一半。

周长

正方形周长=边长×4用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a

6 梯形

定义

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isoscelestrapezium)。

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

性质

1、等腰梯形两腰相等、两底平行；

2、等腰梯形在同一底上的两个内角相等；

3、等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；

4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。

判定

1、两腰相等的梯形是等腰梯形。

2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、对角线相等的梯形是等腰梯形。

面积

1、梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2

2、梯形面积=梯形中位线×高

周长

梯形的周长=上底+下底+腰+腰用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长

则c=a+b+c+d

7 圆内接四边形

定义

四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

性质

1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）

判定

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。

面积

圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2

8 对角线

定义

连接四边形任意两个不相邻顶点的线段（四边形有两条对角线）。

性质

四边形面积等于两条对角线的积的一半。

例：四边形ABCD中，AC⊥BD，则S□ABCD=1/2·AC·BD

特殊

对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。

9 不稳定性

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。