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文章主要讲解“一动点与一定点”构成的线段的最小值问题。这种类型问题的解题思路有两种：一是“循迹”：先寻找动点的运动轨迹，然后作出最值时刻的图形，最后根据图形特征求值。二是“旋转”，旋转所求线段的位置，求与之线段相等的线段的最值。  例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB=4×（根号3） ,点P是AC上的动点，连接BP,以BP为边作等边△BPQ，连接CQ,求线段CQ的最小值.
【分析】：改变线段的位置一般有两种方式：旋转与构造全等。本题中，旋转的依据是什么？要抓住变化过程中图形中不变的关系。△BPQ是等边三角形这种属性不随动点P位置的改变而改变，进而可以知道三边相等，三个角都是60°，进一步还可以知道∠BCQ=∠PBA。我们可以根据这些特征通过旋转或者构造全等三角形改变线段CQ的位置。由BQ=BP，∠QBP=∠CBA=60°，可将△BCQ逆时针旋转60°，使得点C落在边AB上的点C'处。点C是定点，旋转60°后点C'也是定点，这样CQ的最小值就转化为线段C'P的最小值问题。
【分析】：循迹法可分为三步：一是利用特殊点猜测点Q的轨迹；二是验证点Q的轨迹，三是求值。怎么寻找动点Q的轨迹哪？多找一些点Q，观察它们的分布位置，猜测点Q的轨迹。其中特殊点的选择很重要，当点P与端点A，B重合时，得到的点Q1就是点Q2轨迹的端点，再根据图中任意时刻点Q的位置，可猜测点Q的轨迹是线段Q1Q2。如何验证点Q的轨迹哪？为了解决这个问题，可以反过来想。点Q1是定点，如果点Q的轨迹是Q1Q2，那么∠AQ1Q的度数是一个定值，即如果能够证明∠AQ1Q等于某一个确定的度数也就证明了点Q的轨迹是Q1Q2。由△BPA≌△BQQ1得到∠BQ1Q=∠BAP=30°，从而得到∠AQ1Q=90°，从而证明我们的猜想。另外，作出等边△ABQ1和等边△BCQ2对成功解决问题非常重要。因为它们是发现轨迹并验证轨迹的重要“抓手”。
当△BPQ由等边三角形变为等腰直角三角形或者等腰（顶角120°）三角形时，循迹与旋转同样可以解决。它们的共同特征可归纳为以点B为顶点的等腰三角形。若旋转，旋转中心为等腰三角形的顶点，旋转角为顶角∠PBQ。
【分析】：当等腰三角形的直角顶点由点B变成点P时，△BPA≌△BQQ1变成△BPA∽△BQQ1。此时，若想旋转△BCQ就行不通了。但若以P为旋转中心，顺时针旋转△PCQ，如下图，接下来还是要考虑点C'的轨迹，问题似乎又回到了原点。造成这种现象的原因是旋转中心P是动点，从而点C'也是动点。因此，对于这类题，利用“循迹”法是一个不错的方法。
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