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我们从小学习数学运算的顺序是这样的： ①首先学习加法运算，然后学习加法运算的逆运算—减法运算； a+b=c，c-b=a； ②其次学习乘法运算，然后学习乘法运算的逆运算—除法运算； a×b=c，c÷b=a； ③再次学习乘方运算，然后学习乘方运算的逆运算—开方运算； a^n=b，(n)√(b)=a； ③最后学习指数运算，然后学习指数运算的逆运算—对数运算。 a^n=b，log(a,b)=n。  值得注意的是，从逻辑上看，显然应该是先有指数，再有对数。然而，现实的历史发展却恰恰相反，对数确实是早于指数先出现的，这也成为数学史上的一个珍闻。今天我们就来认识一下对数。 对于指数运算：a^b=N；a称为底数，a＞0且a≠1；N称为幂，N＞0；b称为指数。 等价于对数运算：log(a,N)=b；a称为底数；N称为真数；b称为对数。 a^b=N↔log(a,N)=b a＞0且a≠1，N＞0。 例如：2^3=8↔log(2,8)=3 根据对数定义，很容易得出以下结论： log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2 log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2 另外，还有以下两个定义： ①底数为10的对数称为常用对数，表示为：log(10,N)=lg(N) ②底数为自然常数e的对数称为自然对数，表示为：log(e,N)=ln(N)  接下来我们来复习对数的基本运算法则： ①log(a,M×N)=log(a,M)+log(a,N) ②log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N) 证明：log(a,M)=x，log(a,N)=y M=a^x，N=a^y M×N=(a^x)×(a^y)=a^(x+y) M/N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y) log(a,M×N)=x+y=log(a,M)+log(a,N) log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，证毕！ ③推论：log(a,M1×M2×…×Mn) =log(a,M1)+log(a,M2)+…+log(a,Mn) ④log(a,M^n)=n×log(a,M) 证明： log(a,M^n)=log(a,M×M×…×M) 【n个M】 =log(a,M)+log(a,M)+…+log(a,M) 【n个log(a,M)】 =n×log(a,M)，证毕！  ⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M) 证明：log(a^b,M)=x M=(a^b)^x=a^(b×x) b×x=log(a,M) log(a^b,M)=x=(1/b)×log(a,M) 证毕！ ⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M) 证明：log(a^b,M^n) =n×log(a^b,M) =n×[(1/b)×log(a,M)] =(n/b)×log(a,M)，证毕！ ⑦log(a,a^n)=n ⑧log(a^n,a)=1/n 证明： log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=n log(a^n,a)=(1/n)×log(a,a)=(1/n)×1=1/n 证毕！  基本公式就先介绍到这里，接下来我们来讨论今天的主题：对数恒等式与换底公式。 我们首先来证明对数恒等式。 对数恒等式：a^[log(a,N)]=N 证明：log(a,N)=x，a^x=N a^x=a^[log(a,N)]=N，证毕！  对数恒等式 对数恒等式a^[log(a,N)]=N有着非常重要的应用，利用这个恒等式，可以将任何正数x表示成指数与对数相结合的形式，而指对数的底数a可以为任何不等于1的正数。 x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)] =10^[lg(x)]=e^[ln(x)] 尤其是利用x=e^[ln(x)]的变换，可以很容易地求出一些复杂函数的导出，例如幂指函数f(x)=x^x。 f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[x×ln(x)] 具体求导的过程，我们下节课再讲。 接下来我们来证明换底公式。 换底公式： log(a,N)=log(m,N)/log(m,a) 证明：log(a,N)=x，a^x=N log(m,N)=log(m,a^x)=x×log(m,a) log(a,N)=x=log(m,N)/log(m,a) 证毕！  换底公式 换底公式最强大之处在于可以将对数的底数换成任意底数。 log(a,b)=log(2,b)/log(2,a) =lg(b)/lg(a)=ln(b)/ln(a) 利用换底公式 log(a,b)=lg(b)/lg(a)，我们进一步可以推出： ①log(a,b)×log(b,c)=log(a,c) 证明：log(a,b)×log(b,c) =[lg(b)/lg(a)]×[lg(c)/lg(b)] =lg(c)/lg(a)=log(a,c)，证毕！ ②log(a,b)×log(b,a)=1 证明：log(a,b)×log(b,a) =log(a,a)=1，证毕！ 在计算器还没有普及之前，人们正是利用换底公式来计算对数值。我们首先制作了常用对数表，然后就可以将任何一个对数换底为常用对数，通过查表即可计算出对数值。 例如：log(2,3)=lg(3)/lg(2) ≈0.4771/0.3010≈1.585  常用对数表 另外，利用对数表，我们也可以很快比较两个指数的大小。 例如：比较2^300和3^200的大小 lg(2^300)=300×lg(2)≈300×0.3010=90.3 lg(3^200)=200×lg(3)≈200×0.4771=95.42 lg(2^300)＜lg(3^200)，2^300＜3^200 好了，今天就先聊到这里，大家下来后可以再自行证明以上公式，加深理解。 |
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