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根据定理（TA），亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式，亦即具有 Cα1Cα2Cα3…Cαn－1Cαn， 形式的表达式，其中所有的α都是三段论系统的简单表达式，亦即Aab，Iab，Eab或NIab，以及Oab或NAab等类型的表达式。现在，我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的，也就是说或者被断定，或者被排斥。我将首先证明所有简单表达式（除Aaa及Iaa型的表达式外）都是被排斥的。我们已经看到（第27节，公式*61）Iac是被排斥的。这里是其它表达式的排斥的证明： *61×*100.c/b *100. Iab 8×C*101－*100（8.CAabIab） *101. Aab IＶ. p/Aaa，q/Iab×C1—102（IＶ.CpCNpq） 102. CNAaaIab 102×C*103—*100 *103. NAaa（＝Oaa） *103×*104.b/a *104. NAab（＝Oab） IＶ. p/Iaa，q/Iab×C2—105 105. CNIaaIab 105×C*106—*100 *106. NIaa（＝Eaa） *106×*107b/a *107. NIab（＝Eab） 现在转向复杂的初等表达式，我将相继地研究所有可能的情况，而省去可能的形式证明，而仅提出它们如何能得以证明的提示。有六种情况应当加以研究。 第一种情况：后件αn是否定的，而所有各前件都是肯定的。这样的表达式都是被排斥的。 证明：把在这个表达式中出现的所有变项都等同于a，作为同一律Aaa或Iaa，所有前件都成为真的，而后件成为假的。我们看出，对于这个情况的解决说来，同一律乃是根本的。 第二种情况：后件是否定的，并且只有一个前件是否定的。这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况，并且这样的情况，如我们随后将看到的，总是可判定的。 证明：CαCNBNγ形式的表达式都演绎地等值于CαCγB形式的表达式（对于断定命题CCpCNrNqCpCqr与CCpCqrCpCNrNq而言），这不仅对于一个肯定的前件α是真的，而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。 第三种情况：后件是否定的，并且一个以上的前件是否定的。这类表达式能化归为简单表达式，以至最终化归为第二种情况。这个情况的解需要斯卢派斯基排斥规则。 证明：让我们假定原表达式是CNαCNBCγ…Np形式的。因为任一前件都可以移至无论哪一个位置，这个假定总是可以作出的。我们把这个表达式相应地省去其第二个或第一个前件，化归为两个比较简单一些的表达式CNαCγ…Np与CNBCγ…Np。如果这些表达式有一个以上的否定前件，我们就重复这种处理，一直到我们得出只带有唯一的否定前件的公式为止。因为根据第二种情况，这样的公式都是演绎地等值于可判定的肯定的各表达式的，所以它们总是或者被断定或者被排斥。只要它们之中的一个被断定了，那么原表达式也必须被断定，因为用简化定律我们可以把先前加以省略的所有其它否定前件加于这个断定的公式之上。然而如果所有具有一个否定前件的公式都被排斥了，那么我们重复运用斯卢派斯基排斥规则，从它们得出原表达式必须被排斥。举两个例子就可以透彻地说明问题。 第一个例子：CNAabCNAbcCNIbdCIbcNAcd是一个断定命题。我们把这个表达式化归为（1）与（2） （1） CNAabCNIbdCIbcNAcd， （2） CNAbcCNIbdCIbcNAcd. 用同样方式，我们把（1）化归为（3）和（4）： （3） CNAabCIbcNAcd， （4） CNIbdCIbcNAcd. 并且把（2）化归为（5）和（6）： （5） CNAbcCIbcNAcd， （6） CNIbdCIbcNAcd. 现在最后一个表达式是一个断定命题；它是第三格的Ferison式。在CpCqp中，以（6）代p，并以NAbc代q，我们得到（2），再一次应用CpCqp，以（2）代p，并以NAab代q，我们就达到了原命题。第二个例子：CNAabCNAbcCNIcdCIbdNAad，并非一个断定命题。如同前面的例子一样，我们把这个表达式化归为： （1）CNAabCNIcdCIbdNAad， （2）CNAbcCNIcdCIbdNAad； 然后，我们把（1）化归为（3）和（4），并且把（2）化归为（5）和（6）： （3）CNAabCIbdNAad， （4）CNIcdCIbdNAad， （5）CNAbcCIbdNAad， （6）CNIcdCIbdNAad. 所有以上带有一个否定前件的公式，都不是断定命题，这可以用把它们化归为只有肯定元素的情况的办法来加以证明。表达式（3）、（4）、（5）和（6）都是被排斥的。应用斯卢派斯基规则，我们从被排斥的表达式（5）和（6）得到（2）必须被排斥，并且从被排斥的表达式（3）和（4），得到（1）必须被排斥。但是，如果（1）和（2）都被排斥了，那么，原表达式也必须被排斥。 第四种情况：后件是肯定的，而有些（或所有）前件都是否定的。这个情况可以化归为第三种情况。 证明：CαCNBγ形式的表达式，在断定命题 CCpCNqrCpCNqCNrNAaa与 CCpCNqCNrNAaaCpCNqr 的基础上都演绎地等值于CαCNBCNγNAaa形式的表达式，因为NAaa总是假的。 带有否定元素的所有情况就这样地穷尽地考察过了。 第五种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个全称肯定命题。有几种从属情况应当加以区分： （a）后件是Aaa；这个表达式是断定的，因为它的后件是真的。 （b）后件是Aab，而且Aab也是前件之一。这个表达式当然是被断定的。 以下都假定Aab不作为前件出现。 （c）后件是Aab，但是没有前件是Aaf型的（f不同于a，并且，当然也不同于b）。这样的表达式都是被排斥的。 证明：将不同于a与b的所有变项等同于b，我们只能得到以下的前件： Aaa，Aba，Abb，Iaa，Iab，Iba，Ibb. （我们不能得到Aab，因为没有前件是Aaf型的，其中f不同于a。）前提Aaa，Abb，Iaa，Ibb可因其是真的而略去。（如果没有其它前提，这个表达式就被排斥，犹如在第一种情况中一样。）如果除了Iab之外还有Iba，它们之一可以省略掉，因为它们彼此是等值的。如果有Aba，则Iab与Iba两者都可以略去，因为Aba蕴涵着它们二者。在这些化归之后，只有Aba或Iab能够作为前件留下来。现在可以表明这两个蕴涵式， CAbaAab 与 CIab Aab， 根据我们的排斥公理都是被排斥的： X. p/Acb，q/Aba，r/Iac，S/Aab×C27—108 108. CCAabAbaCKAcbAabIac （X.CCKpqrCCsqCKpsr； 108×C*109—*5927.CKAcbAbaIac） *109. CAabAba *109×*110.b/a a/b *110 CAbaAab. 如果CAbaAab被排斥，则CIabAab必定也被排斥，因为Iab是比Aba更弱的前提。 （d）后件是Aab并且有Aaf型的前件（其中f不同于a）。如果有一个由a导至b的系列，根据公理3（Barbara式）这个表达式被断定；如果没有这样的系列，这个表达式就被排斥。 证明：我把一个由a导至b的系列了解为一个有序的全称肯定前提的序列： Aac1，Ac1c2…，Acn－1cn，Acnb， 序列的第一项有a作为它的第一个变元。最后一项有b作为它的第二个变元。而每一个其它项的第二个变元都与它的后承者的第一个变元相同。很明显，从这样一个表达式的序列，重复应用Barbara式就得出Aab。所以，如果有一个从a导至b的系列，这表达式就被断定；如果没有这样的系列，我们能消去Aaf型的前提（将它们的第二个变元等同于a），用这种方法这表达式被化归为从属情况（c），而它已是被排斥的。 第六种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个特称肯定命题。这里我们也必须区分几种从属情况。 （a）后件是Iaa；这表达式是被断定的，因为它的后件是真的。 （b）后件是Iab，而出现为前件的或是Aab，或Aba，或Iab，或Iba；很显然，在所有这些情况，这表达式必须被断定。 以下都假定以上四者都不作为前件出现。 （c）后件是Iab，而没有前件是Afa型的（f不同于a），或者是Agb型的（g不同于b）这表达式是被排斥的。 证明：我们把所有不同于a、b的变项都等同于c；于是在Acc或Icc型的真前提之外，我们只得到以下前件： Aac，Abc，Iac，Ibc. Aac蕴涵Iac，而Abc蕴涵Ibc。所以，前提的最强的组合是Aac与Abc。然而，从这个组合，不会得出Iab，因为公式 CAacCAbcIab 等值于我们的排斥公理。 （d）后件是Iab，并且在前件之中有Afa型（f不同于a）的表达式，而没有Agb型（g不同于b）的表达式。如果有Abe或Ibe（Ieb），并且有一个从e导至a的系列： （α）Abe；Aee1，Ae1e2，…，Aena， （B）Ibe；Aee1，Ae1e2，…，Aena 我们从（α）得到Abe与Aea，从而用Bramantip式得到Iab，而从（B）得到Ibe与Aea，从而用Dimaris式得到Iab。在两种情况中，这表达式都是被断定的。然而，如果不满足条件（α）和（B），我们能够消去Afa型的前提（用把它们的第一个变元等同于a的办法），根据从属情况（c），这表达式必须被排斥。 （e）后件是Iab，并且在前件之中有Agb型（g不同于b）的表达式，而没有Afa型（f不同于a）的表达式。这个情况能够化归为从属情况（d），因为a与b就后件Iab而言是对称的。 （f）后件是Iab，并且在前件之中有Afa型（f不同于a）的表达式与Agb型（g不同于b）的表达式。我们可以设想条件（α）与（B）对于Afa是没有满足的，或者同样的条件对于Agb也是没有满足的；否则，如我们已经知道的，这个原表达式将是被断定的。现在，如果有Aca与一个从c导至b的系列： （γ）Aca；Acc1,Ac1c2，…，Acnb， 或者Adb与一个从d导至a的系列： （δ）Adb；Add1，Ad1d2，…，Adna， 我们从（γ）得到Aca与Acb，从（δ）得到Adb与Ada。从而在两种情况下，用Darapti式都得出Iab。进一步说，如果有一前件Icd（或Idc）与两个系列，一为从c导至a，另一为由d导至b： (ε)Icd；Acc1,Ac1c2,…，Acna, Icd；Add1，Ad1d2，…，Adnb。 我从第一个系列得出前提Aca，从第二个系列得出前提Adb，而这两个前提与Icd一起，基于复合三段论（polysyllogism） CIcdCAcaCAdbIab 得出结论Iab。我们这样来证明这个复合三段论：从Icd与Aca用Disamis式推出Iad，然后从Iad与Adb用Darii式推出Iab。在所有这些情况下，这个原表达式都必须被断定。然而，如果条件（γ）、（δ）或（ε）没有一个是被满足的，我们可以消去Afa与Agb型的表达式（用将它们的第一个变元分别地等同于a或b的办法），而根据从属情况（c），这个原表达式必须被排斥。现在穷尽了一切可能的情况，并且证明了每一个有意义的亚里士多德三段论系统的表达式，在我们的公理和推论规则的基础上，或者是被断定的，或者是被排斥的。（卢卡西维茨） |
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