|
一、三角函数的定义 1. 正弦、余弦、正切函数的定义 在直角三角形中，对于锐角 A，定义其正弦、余弦、正切函数分别为： $$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$ 2. 三角函数的周期性 正弦、余弦、正切函数的周期都是 $2\pi$，即函数值在每个周期内重复出现。 二、三角函数的图像 1. 正弦函数的图像 正弦函数的图像在 $[0, 2\pi]$ 区间内是一个周期为 $2\pi$，振幅为 1 的连续曲线。其最大值为 $1$，最小值为 $-1$。 2. 余弦函数的图像 余弦函数的图像在 $[0, 2\pi]$ 区间内是一个周期为 $2\pi$，振幅为 1 的连续曲线。其最大值为 $1$，最小值为 $-1$。 3. 正切函数的图像 正切函数的图像在每个 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍的位置都有一个垂直渐近线，其余部分的图像是一条连续曲线。 三、三角函数的性质 1. 正弦函数的性质： 周期为 $2\pi$，在 $[0,\pi]$ 区间上递增，在 $[\pi,2\pi]$ 区间上递减；在 $x=k\pi$ 处的函数值为 $0$。 2. 余弦函数的性质： 周期为 $2\pi$，在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 区间上递减，在 $[\frac{\pi}{2},\pi]$ 区间上递增，在 $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ 区间上递减，在 $[\frac{3\pi}{2},2\pi]$ 区间上递增；在 $x=(k+\frac{1}{2})\pi$ 处的函数值为 $0$。 3. 正切函数的性质： 周期为 $\pi$，在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 区间上单调递增；在 $x=k\pi$ 处有一个奇点，函数值趋近于正无穷或负无穷。 四、三角函数的公式 1. 诱导公式 $$\sin(-\theta)=-\sin\theta, \cos(-\theta)=\cos\theta$$ $$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta, \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$ $$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta, \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$$ $$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta, \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$$ $$\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\t |
|
|
