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导读 本文是华裔范畴论数学家郑乐隽（Eugenia Loh-Gene Cheng，英国数学家、钢琴家，父母是香港人。Cheng是“郑”在广东话中的发音，zzllrr小乐译注）接受量子杂志播客主Steven Strogatz的采访时交流内容。郑乐隽，撰写了多本畅销的数学科普著作，例如： 数学可以处理本质上相同但不完全相等的事物吗？范畴论数学家郑乐隽和主持人 Steven Strogatz 讨论了抽象的力量和乐趣。 数学还有比等号更多的东西吗？一双鞋与一副手套不同，但我们认识到它们之间的相同之处，因为两者都符合我们对一双的定义。范畴论是数学的一个分支，它研究事物如何在本质上相同而不完全相等。数学家郑乐隽用它来在抽象概念之间建立联系，并识别许多主题和尺度的模式。郑是芝加哥艺术学院的常驻科学家，也是《抽象的乐趣：数学、范畴论和生活的探索》一书的作者。在这一集中，她和主持人Steve Strogatz解读范畴论，并展示它如何应用于日常事务——包括认识到那个不断出现在你生活中的令你烦恼的人。 Steve Strogatz （00：00）：嗨。我是Steve Strogatz，这是量子杂志的播客The Joy of Why，带你进入当今数学和科学中一些最大的未解决的问题。在这一集中，我们要问：数学还有比等号更多的东西吗？换句话说，我们是否可以利用数学的逻辑力量来谈论本质上相同的含义，而不必完全严格相等？ （00：28）这就引出了范畴论(category theory)。它通常被描述为数学的数学 - 对整个学科的一种鸟瞰图。但这意味着什么？如果数学依赖于抽象，那么范畴论的支持者说，它为这些抽象提供了一个健全的脚手架，一种在广泛的主题和尺度上（例如各种空间形状，或不同类型的对称性）建立联系并识别模式和关系的方法。 （00：59）但是一些数学家，特别是一些爱抱怨的老前辈，对范畴论真正告诉我们的是新的数学有质疑。它的意义何在？甚至一些最热心的实践者也亲切地将其描述为“抽象的废话”（abstract nonsense）。 （01：16）然而，最近，范畴论甚为风靡。它不仅在数学界很热门。它现在被用于计算机科学、物理、工程、化学、语言学等。虽然它最初是纯数学的一个抽象分支，但它被证明是一种全新的思考很多事情的方式，包括日常生活中的情况。 （01：37） 今天的嘉宾郑乐隽博士将帮助我们更好地理解范畴论。她是芝加哥艺术学院的常驻科学家，也是几本书的作者，她最近的一本书是《抽象的乐趣：数学、范畴论和生活的探索》。欢迎您，郑乐隽博士。
https:/// 郑乐隽：非常感谢你邀请我。 Strogatz（02：01）：我很高兴有机会和你交谈。多年来，我一直是你的忠实粉丝。范畴论在我们的数学世界中是如此有趣的学科。老实说，在我开始看你的书之前，我并不欣赏它是如何开始触及许多其他学科的——甚至正如我刚才所说，甚至是日常生活。那么，如果你让我们开始——想象一下，你正在制作一个TikTok视频来定义范畴理论。你会说什么？ 郑（02：32）：就像你说的，我会说范畴论是数学的数学。请记住，数学不仅仅是关于数字和方程式。这是关于我们如何建立证明以及如何找到事物之间的模式。所以这是关于在模式中找到模式并对证明进行证明。 Strogatz（02：50）：我喜欢。这是你整个职业生涯都感兴趣的东西吗？你什么时候开始对它感兴趣？ 郑（02：56）：我要冒昧地说我一生都对它感兴趣，却没有意识到这就是我感兴趣的。因为从我很小起，我就对模式和证明感兴趣——不是人们互相大喊大叫，而是为我们如何认识事物建立理由。虽然我根本没有意识到范畴论的存在，但我总是对深刻的解释感兴趣。即那种反复问为什么的孩子，不是为了惹恼大人，而是因为想知道（答案）。数学总是给我最令人满意的答案，为什么事情是正确的。 （03：35）在数学中，是纯数学给了我最满意的答案。然后在纯数学中，是代数。然后在代数中，是范畴论。当我终于第一次接触到范畴论时，就像回到了家，或者找到了我一直梦寐以求的家。我意识到这就是我一直在寻找却没有意识到的东西。即使是现在，当我回到我小时候让我感兴趣的一些事情——这些就是我举的一些例子。当我谈论范畴理论时——我意识到，在内心深处，让我感兴趣的事情实际上与范畴论有关。 Strogatz（04：11）：我喜欢你回到家的感觉。你不是下意识地拥有这个久违的天堂或一直在寻找的地方。 郑（04：21）：确实有这种感觉。 Strogatz：我很高兴你能再次团圆，或者—— 郑：团圆。 Strogatz （04：27）：是的。实际上，这可能非常合适，因为整个主题似乎是关于许多不同事物的统一。是这样吗？ 郑（04：35）：确实如此。是的，这实际上是关于发现不同情境之间的相似之处，然后找到一种统一的方式来思考它们——本质上是为了可以更好地使用我们的大脑。因为我们可怜的、有限的大脑与我们试图理解的世界的复杂性相比，真的非常渺小。处理这种复杂性的一种方法是故意忽略其中的某些部分。不幸的是，这是一种非常普遍的方法。 （05：05）但我相信，处理世界复杂性的更好方法是对事物采取更广阔的视野，并找到不同情境之间的相似之处，这样你就可以在一定水平上同时研究许多事物。我想这就是你所说的统一。我们并不是要宣布不一样的事情是相同的。我们试图找到一些关于它们的共同点的深层本质，这样我们至少可以将这部分作为同一部分进行研究，然后再放大各个情境以查看细节。 Strogatz（05：40）：你在那里给出了一个美丽的宣言，展示了像数学家一样思考的意义。我认为这是我们所有人在这个领域的事情 - 嗯，说我们所有人也许这有点夸张。但可以肯定的是——我应该小心这样的陈述。你甚至在书中说了这样的话。我想小心而不要夸大其词。但是，我仍然认为，对抽象的诉求，对在特定上下文中似乎无关紧要的细节的剥离，可以给我们带来深刻的洞察力，这是一个对真理的恰当近似。所以，也许这是一个你告诉大家你对抽象的看法之处，关于它的利弊。 郑（06：16）：是的，我喜爱抽象，因为我以此为乐。我认为我们在数学上谈论得还不够多。有一个很大的推动力告诉每个人数学是多么有用，它有多重要，因为它会帮助你解决生活中的问题。我认为这在数学上有点有害。是的，它非常有用。是的，它确实在各种方面帮助了我。但我也喜欢这样做。这就是为什么我给书名起了名字，我给它起的标题，就是《抽象的乐趣》。这不是抽象的有用性，而是抽象的乐趣。因为对我来说，这真的是一个快乐的过程。这就像照亮了事物。你知道，我今天刚出门，阳光明媚，这给了我快乐，不是因为我在寻找什么，而是我可以看得更清楚。你知道，如果我把东西掉在街上，我正在寻找它，那么阳光明媚会有所帮助。但是，能够清楚地看到事物是件好事，不是吗？这就是我喜欢抽象的原因。对我来说，感觉到处都是雾。然后当你进行抽象时，正如你所说，你正在清除不相关的细节，然后你可以更清楚地看到事物。这对我来说是快乐的。 Strogatz（07：29）：这部分讨论起来可能有点棘手，但让我们试试吧。你知道，我在数学中遇到了一点不同的亚文化。我来自数学非常偏向于应用的那一头。但我确实在本科训练的最后一年接触了范畴论。那时我正在上拓扑学课程。我想说的是，在你的书之前，我唯一接触过它的观点（我认为，是一种老式的观点）是，范畴论依赖于对大量高等数学的了解。它的巨大效用，至少在当时对我们争论的那样，是它帮助我们看到之间的联系——即使这些词对我们的一些听众来说没有意义，我想他们会明白的——我们在拓扑学中做了一些关于形状的难题，我们正在将它们转化为关于代数的问题，关于称为群的东西。这就是最大的优点，我们被告知：通过范畴论，可以从数学的一部分到另一部分进行某种翻译，也许可以使问题变得更容易。但是你怎么看呢？这是长期以来公认的关于范畴论的智慧，对吧？这是一种非常复杂的事情。 郑（08：43）：是的。这就是我称之为数学的数学的原因之一。因为数学四处观察世界并发现世界上不同事物之间的相似之处，你可以说范畴论对数学就是这样做的。所以它绕来绕去，就像在数学中寻找不同事物之间的相似之处一样。所以在数学中，你可能会说，哦——例如在拓扑学中，......嗯，例如，挑选一个著名的例子：有这个东西像咖啡杯，还有这个东西像百吉圈（硬面包圈）或甜甜圈。从某种意义上说，它们是相同的，这并不是说你可以同时吃它们（因为你不能），而是如何将一个变成另一个。因此，拓扑学提出了一种谈论这些东西相同的方法。 （09：23）然后范畴论更上一层楼，说有某种方法可以，让我们可以在整个拓扑学领域和整个代数领域之间建立联系，这样我们就可以在形状的整个概念和整个代数概念之间进行转换，而不是在咖啡杯和甜甜圈之间进行转换。所以它确实是从这个想法中发展起来的。它源于想要一个框架以一种严谨的方式建立这些联系，因为数学就是以一种严谨、合乎逻辑的方式做事——而不仅仅是说，“我在我的直觉的某个地方感觉到这些东西是有联系的。”我们经常从直觉开始，但随后我们需要给它一个逻辑框架，因为我们相信将我们的证明建立在逻辑上，而不仅仅是直觉之上。看来你需要了解数学中的那些高级领域，才能看到范畴论在做什么。 （10：17）但老实说，我认为这是一个相反的错误。没必要。这是实现它的一种方法。但另一种方法就是思考抽象。我是从这个角度出发的，因为，老实说，我认为当我完成本科学位时，我对数学的掌握不是很好。我喜欢这样想，我没有这样做的原因之一是因为我没有做过范畴论。当我做范畴论时，我只是从欣赏代数本身的角度来研究它。我并没有试图将数学的不同领域结合起来，因为老实说，我对数学的所有不同领域都感到困惑。 （10：58）当范畴论出现时，范畴论本身对我来说非常有意义。你不需要知道任何其他数学来理解范畴的定义。它不依赖于任何东西。它不涉及数学其他部分的内容，而只是直接进入。 （11：12）但后来发生的事情是，它帮助我理解了我以前在本科学位时做过的所有数学部分。我记得一些朋友和我坐下来说，“嗯，真的，这是我们以前做的所有事情的先决条件。”我个人觉得，如果我先做范畴论，而不是用其他东西作为理解范畴论的跳跃点，它会帮助我理解所有其他事情。问题是——激进的思想——每个人都是不同的。即有些人通过数学的其他部分来理解事物。有些人通过范畴论了解数学的其他部分。 （11：52）我认为目前数学教育方式的一个大问题是，人们相信你必须有一定的顺序来做数学。所以我在书的开头就把它描述为一系列的障碍。如果你认为数学是一系列的障碍，并且随着你的前进，它们变得越来越高，那么确实是的，如果你不能克服较低的障碍，那么试图克服更高的障碍就没有多大意义。 （12：18）但问题是，数学实际上并不是一连串的障碍，而是一个相互关联的思想网络。因此，围绕这一点有许多不同的路径。因为一切都是相互关联的。你可以在该网络中使用各种不同的路线。这里再次提出了激进的想法：不同的路线将以不同的方式适合不同的人。这就像你最初如何呈现数学一样。有些人喜欢先看具体的例子，然后根据对具体例子的理解，再看一般理论。 （12：50）但我更喜欢看一般理论，然后再用具体的例子来帮助我，同时用一般理论来帮助我理解具体的例子。当我去参加研讨会时，当研讨会从例子开始，然后做理论时，我总觉得我想倒着看研讨会。我必须把例子放在我的大脑里，忽略它们，听一般理论，然后迅速尝试倒带，然后回顾例子。 Strogatz（13：18）：你带来的关于人类多样性的心理学真是太好了，因为我能听到不只是成为一个研究型数学家。你知道，你在一个艺术学院甚至可能不是偶然的。你对数学和数学教育的看法是如此令人耳目一新，具有平等主义和与众不同。你知道，即使只是拒绝这个障碍的比喻，或者我们经常听到的守门——我们知道我们的做法，有些东西不起作用，对吧？有这么多人对数学有强烈的厌恶，在某些情况下接近数学恐惧症或数学焦虑症，这是不必要的。我真的认为你可能已经找到了，你至少为其中一些人找到了一条出路。 （14：03）但真正令我惊讶的是“抽象第一”或“理论第一”的想法，因为我们经常被教导——就像在不同的领域：例如写作。我知道，我们俩都对写作感兴趣。就像你读过Strunk和White或很多老前辈，他们会说“先举例子”或“更喜欢具体而不是一般”。然而，这显然不对——你的大脑认为不对。对于某些人的大脑来说，这可能是对的。 郑（14：26）：没错。对某些人来说确实如此。七八年来，我一直在艺术学院向我的艺术学生展示范畴论。我发现他们是艺术专业的学生。他们中的许多人，过去真的被推迟了数学和整个主流的教育。数学的具体形式或数学的例子形式并没有引起他们的共鸣。问题是抽象——所以我的课被称为“抽象的优雅”——似乎抽象与其他形式的数学相比，抽象与生活的相关性更低。实际上，我自己也曾经这么想过。我曾经认为我做的数学，范畴论，只对纯数学的其他部分有用。纯数学对部分应用数学有帮助，应用数学对工程、科学有用。这对人类世界是有用的。所以我想，我只是接受了我的数学形式 在一系列非常长的连锁反应中对正常生活有用。 （15：28）然后我意识到，实际上，因为抽象是关于如何更好地思考，它可以直接对人类生活有帮助——事实上，它比应用数学和工程学更有帮助。所以如果你说数学是有用的，因为，这意味着我们可以制造使用GPS的手机，我们可以驾驶飞机和建造桥梁。是的，这一切都很棒。但这意味着任何不打算进入科学和工程领域的人都不需要这样做。它给了这些人一个真正的，我认为，是正当的理由说，“我很高兴有些人做数学，但我不明白为什么我需要自己做。”学生会说，“哦，为什么我们必须学习三角学？我永远不会在生活中使用三角学。”我认为这是有道理的。我想说这是真的。我在日常生活中很少使用任何三角学。我唯一使用三角学的时候是当我为数学论文绘制数学图时，我必须为某些东西找出一些坐标。这不是日常生活的主流部分。 Strogatz（16：27）：对不起，如果你不介意我打断的话。我想在这里给你一些设置，就像排球的风格。我认为这对你来说应该很容易拒绝。但让我们看看。这就是我的想法：人们会提出的标准论点——我相信有些听众在摇头，“哦，不”。他们认为三角学是神圣不可侵犯的。“你最好不要摆脱三角学！”三角学对90%的人或99%的人来说毫无价值，但它教会你思考。“这对你的思想来说是很好的锻炼。”所以来吧，拒绝它。 郑（17：02）：这正是我要说的。这真是太好了。我们同意。你可以打断并同意我的看法，太好了！当我们推动数学对应用的有用性时——没有冒犯应用数学家，事情就是这样。但是，当我们推动这一点时，这并不是全部和最终目的。因为正如你所说，这是关于学习如何思考。因此，当我们学习三角学时，并不是因为三角学有用。这是因为它是对我们大脑的训练。一旦你把数学作为一种思维方式，那么它对任何关心思考的人来说都变得很重要。我希望每个人——有时似乎不是每个人都在思考。但是，任何关心思考的人，我的艺术学生真的很关心思考，当他们意识到这不是直接应用时，他们就会以不同的方式对它感兴趣。这不是直接解决问题。这是关于学习使用大脑的新方法，并学习如何使用你的大脑对同一件事获得许多不同的观点。 （18：02）我认为这就是抽象对我来说的意义所在。当你上升到一个更高的层次时，——我的意思不是指更困难的高度，只是指一种鸟瞰图，忽略了一些关于事情的小细节，你可以更好地转身，可以看到不同的观点。我认为数学经常被呈现为固定和僵化的东西是一种耻辱，因为我真的相信它是关于灵活性的，关于在同一件事上绑定不同的观点。甚至三角学也非常深入地在圆形视角和方形视角之间切换视角。我认为当我们谈论三角学时，这还不够。这通常是关于记住所有这些哑笨的公式或三角函数。但这实际上是关于如果我们通过圆形视角而不是方形网格来理解世界，我们如何在这两种观点之间转变？ （18：59）我认为这就是所有数学的意义所在，甚至是那些可怕的方程和等号，正如你所说，我们正在远离它们。方程实际上是观点的转变。方程在说什么？它是说某物等于其他事物。但它说的远不止于此。它说，一些在某种意义上彼此不明显相同的事物实际上在另一种意义上彼此相同，这使我们能够将我们的观点从一个改变到另一个。即使是简单的事情，比如5 + 1 = 1 + 5，也告诉我们，一种观点是我们可以取五件东西，然后再添加另一件东西。另一种观点是，我们可以取一个，然后添加五个。这似乎不是一个完全不同的观点。但是如果你教一个小孩子这种想法，你可以做的一种方法是可以把一件东西和五件东西放在一个盘子上，然后你可以旋转盘子，或者你可以让他们走到盘子的另一边，这时一件和五件东西已经交换了位置。所以你真的改变了你的观点。这就是抽象数学的意义所在。 Strogatz（20：01）：好吧，这可能有点违背你告诉我们的关于抽象和理论构建的精神，而不是例子和细节。但我认为，如果你可以给我们一些例子，说明一个范畴是什么，或者你如何通过忽略某些细节来使用更高层次的思维来阐明某些事——一些绝对思维方式的例子——也许会有所帮助。我们可以从一个范畴开始吗？还是一开始就太技术性了？ 郑（20：29）：不，我认为我们可以从这个开始，因为听众可能有兴趣听。一个范畴，是一段代数。但这个想法是，一方面，我们可以看看一系列的东西。一组东西只是一堆对象。除了有一堆对象，我们没有任何额外的信息。所以一个范畴的作用是说，如果我们也思考这些对象之间的关系，那么我们就会得到更多的可以思考的东西。因此，一个范畴由一堆对象组成，它们之间的一些选择关系满足一些温和的公理。但这个想法是，如果我们通过它们的关系而不是通过它们的内在特征来研究对象，那么我们就会理解很多的相关内容。这就像我们研究人一样——看看人们如何与他人互动真的很有意义。如果你正在写某人的传记，那么只写一整本书来描述他的内在特征，而不是看他与他人的关系，他与家人的关系，他与朋友的关系，他的伴侣，他的孩子，与他一起工作的人，这将是非常奇怪的。从那里，我们通过他与他人的互动来建立对他性格的看法。 （21：45）这就是范畴论。它的意思是，我们把一切都放在一个语境（上下文、背景环境）中。灵活性在于，我们可以通过思考它们之间的不同关系，将相同的对象放入不同的语境中。因此，我们可以思考，例如，人与人之间的年龄关系，或者我们可以思考他们之间的教育关系。因此，我们可以思考人们的年龄，或者可以思考他们有什么水平的教育。我们可以思考他们在工作中如何相互交流，或者可以思考哪些数学家与他人合作 - 这与他们的年龄无关。我想他们可能必须同时活着。因此，这使人们处于不同的语境中。 （22：26）范畴论就是说，我们不应该在语境之外思考任何事情，因为事物的特性确实会根据它们所处的语境而改变。甚至数字本身会根据它们所处的字符语境而改变。例如，普通数字 — 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13...它们永远持续下去，它们变得越来越大，永远越来越大。而时钟上的数字则绕着圈子转。这真的很重要，因为如果我们不绕圈子，我们就会说这样的话，“哦，我会在1000233点钟见你”。因此，语境真的很重要。 （23：06）事实上，我最近和学生一起做的一件事就是思考一种称为偏序（partial ordering）的特定范畴。一个全序（total ordering）是你可以将所有内容放在一条直线上，例如数字。你可以把它们全部排成一排。有一种非常明智的方法将它们全部放在一个直接的层次结构中。问题是，生活中没有多少事情适合直接的层次结构。不幸的是，我们人类的倾向是试图将所有东西都推入直接的层次结构中。我认为这是因为我们还没有充分习惯其中有更多维度的东西的复杂性。因此，我相信让我们的大脑更好地处理更多的维度，这样我们就可以对情境理解更加细致入微。 Strogatz（23：50）：也许我们应该接受你提到的偏序，因为我不太确定我是否理解你的意思。 郑（23：55）：好的。在全序中，你可以清楚地说出一切都是直线顺序。所以 1 小于 2，2 小于 3，3 小于 4。没有歧义。但随后我们陷入困境——我经常谈到的一个情况是与不同类型的特权有关。即如果我们接受某些人的身份给了他们在生活中更多的特权，这并不意味着他们比其他人过得更好，这只是意味着他们的特定方面不会给他们带来问题。例如，白人对非白人拥有结构性特权。男性对非男性拥有结构性特权。因此，只有白人对非白人是一个全序。我们已经把它们整理好了。男性对非男性也是一个全序，因为我们已经把他们放在一个顺序中。 （24：48）但是，当我们把这两者结合起来时，就不能再按顺序排列了。因为在这些人群中，白人男性肯定拥有最多的特权，然后非白人非男性拥有最少，但如果我们看看非白人的男性和非男性的白人，我们不能把他们按顺序排列，因为他们每个人都有一种类型。因此，如果我们尝试，那么我们就会陷入潜在的对抗局面。经常发生的事情是，白人女性如此关注她们作为女性受到压迫的方式，以至于她们最终对种族主义问题疏忽了，因为她们过于关注自己作为女性的问题。如果她们只是把整个世界看作男人对女人，那么她们就会忽视种族主义问题。与此同时，非白人可能过于关注他们作为非白人所面临的问题，以至于他们忽略了女性的问题。 （25：41）因此，在社会学的其他领域，这也许被称为交叉性（intersectionality）。当然，数学中的交叉点意味着略有不同的东西。但我喜欢把它看作是一个更高维度的情况，因为不是把每个人都放在一条一维的直线上，现在变成了一个二维的情境，这里它不是一个全序，而是一个偏序。因为我们不能完全让每个人都排队，所以我们只能部分地做到这一点。如果你画一张图表，它看起来像一个正方形，而不是一条直线。然后，如果你添加其他类型的特权，你将获得一个多维数据集，然后你不断为你添加的每种类型添加更多维度。 Strogatz（26：21）：这是一个丰富而有趣的例子。我的意思是，如果我们开始谈论女权主义的历史，它也将具有很多历史意义。我想每个听众都会意识到这些是你刚刚提出的非常真实的事情。这些不是与日常生活无关的抽象概念；事实上，它们具有巨大的相关性。我们一直在谈论——我不知道我们应该怎么称呼它们——社会正义，或者对现实生活中真实人物的担忧。这不是范畴论所固有的，对吧？这是我们可以使用它的众多可能方法之一。但我们也可以在化学或物理中使用它。 郑（26：57）：哦，是的。所以范畴论本质上只是一段代数。仅此而已。这是一个看起来完全像代数的定义。从一些对象和一些箭头结构开始。（这就是数据：你输入一些结构，有一些公理，然后用逻辑操纵它）。所以我描述它的方式听起来有点哲学性。但那是因为我没有给需要了解全部细节的研究生讲课。是的，我们不该给人以印象：即它只是一些模糊的哲学。它确实是一门非常精确的数学，是一个非常技术性的代数。我发现我可以把它应用于这些问题，社会正义的这些非常困难的问题。 （27：38）有两件事。一个是我刚刚在做的这件事。我刚刚意识到，这就是我的想法，这就是我理解周围世界的方式。这就是为什么我觉得能够理解人们，即使我完全不同意他们。你知道，我经常在互联网上看到我完全不同意的人，然后其他人就像“哦，我的天哪，我不敢相信有人会这么想，或者怎么会有人投票给这样那样的事情？”我一直认为我绝对可以理解为什么有人会这么想。如果我做不到，我会很高兴坐下来，努力去理解它。并不是说其他人不理性。有些人会说，“哦，好吧，如果其他人只是不理性，你怎么能处理它？”我认为这绝对是错误的做法。我们宣称别人是非理性的，这是居高临下，也是错误的，因为他们也会宣称我们是非理性的。紧接着我们所做的就是大喊大叫比嗓门。真正重要的是找到他们的逻辑是什么，从他们的角度分析他们的逻辑，而不是把我们的逻辑强加给他们。 （28：38）这就是我们在数学方面所做的。我们不会使用数学另一部分的公理来研究数学的一部分——这没有任何意义。但是，正如你所说，我们所做的是，使用某种转换（transformation，亦译为变换）或映射（map）从一个部分映射到另一个部分。这是范畴论所做的一件事。它为我们提供了一种在一个世界中找到抽象结构的方法，然后将其映射到另一个世界，以使抽象结构仍然相关。这就是我如何通过一种来自抽象的同理心，理解我完全不同意的人。这就是我和我的艺术学生谈论抽象的方式。因为他们并不真正关心如何建造飞机或建造桥梁。他们真正关心社会正义和其他人以及他们不同意的人的问题，以及如何让世界变得更美好。因此，在向他们展示应用于这些问题的抽象时，它不仅帮助他们理解这些问题，而且还激起他们对抽象的兴趣，并说服他们抽象数学也可以与他们相关。 Strogatz（29：47）：所以冒着过多地研究代数的风险，你书中有一段话让我印象深刻，你谈到了一类称为等价关系的关系。你说的关于它们的有趣事情——我的意思是，我肯定一生都在数学上听说过它们——是它们可能表现得太良好了（well behaved），无法成为你所说的可广泛表达性（broadly expressive）。我觉得这对我们来说是一个很好的话题，因为我们说，你知道，在我的介绍中我说过，除了等号之外还有数学吗？感觉这让我们陷入了某种错误（如果我能直截了当地说的话） 、某种僵化或过于僵化的一些关于等价概念的东西。但我想听听你对此有何看法。我的意思是，也许你能提醒我们或教我们什么是等价关系？然后从这个角度来看，它们有什么问题？表现良好，广泛表达性是什么意思？ 郑（30：43）：是的。等价关系是我们抽象地研究关系性质的东西。因此，我们思考了诸如“生日相同”之类的关系类型，这是你可以询问任何两个人的问题。某人A 的生日和某人B 的生日一样吗？或者我们可以说“年龄相同”。另一种关系，如“年长于”。所有这些都是关系的例子，然后我们可以研究这些关系的性质，不是在个人之间，而是关系本身的类型。 （31：15）因此，等价关系是满足某些性质的关系。一是每个人都与自己有关。那么，每个人的生日和自己一样吗？是的，确实是。但是每个人都比自己大吗？不，他们不是。事实上，没有人比自己年长。这是第一个属性，称为反身性（reflexivity）。 （31：33）下一个性质称为对称性（symmetry），即如果A与B有这种关系，那么B与A有这种关系就一定为真吗？即如果A与B的生日相同，则B与A 的生日必然相同。但如果A 比B 年长，那么B 不比A年长；这不是一个对称关系，实际上，它是一个反对称（anti-symmetric）的关系，因为反过来是对的。 （32：00）然后第三个是传递性（transitivity），也就是说，你能通过中间人传递吗？即如果A与B有这种关系，而B与C有这种关系，这是否意味着A与C有这种关系？即如果他有与B相同的生日，而且B的生日与C相同，你可以推断出A和C的生日相同。如果A比B年长，B比C年长，那么是的，你也可以推断出A比C年长。但是，例如，如果A是B的母亲，而B是C的母亲，则不会传递：A不是C的母亲。但她们之间有一个合理的关系，那就是A是C的外婆。因此，有许多有趣的关系根本不满足这些属性。这是因为这些属性，正如你所说，它们的限制性太强，无法表现出很好的表达力。 （32：51）事实证明，满足等价关系就像把人放在鸽笼里一样。这就像把你的整个世界划分成完全独立的盒子，把人塞进那些盒子里，不允许任何灰色地带，不允许任何人跨越边界或在地点之间移动。所以这是非常非常严格的。当有很多法律（法则）时，（我的意思是，这真的有点像在生活中） - 法律是维持一点秩序所必需的。但是如果你有太多的法律，那么你的限制是如此之大，以至于没有人可以表达自己。在社会上也是如此。但是如果法律太少，那么最终可能会陷入无政府状态。 （33：31）数学也是如此。我们想要在数学中研究的那种关系远远超出了等价关系，也超越了生活中的关系。我和我的学生讨论过这个问题，我们谈到了“爱”，这是反身关系吗？每个人都爱自己吗？或者只谈论“是朋友”——每个人都是自己的朋友吗？不过可悲的是，有些人不是自己的朋友。然后我们谈谈友谊是否对称。你知道，如果A是B的朋友，那是否意味着B是A的朋友？“爱”绝对不是，因为有单相思。但是可能有单向友谊吗？如果某人对你不好，你和他真的是朋友关系吗？这是一个有趣的问题。 （34：10）然后，传递性也是社交媒体想要强加给我们的。他们希望我们和朋友的所有朋友成为朋友。但这不一定是对的。因此，范畴论使我们能够研究关系的更广泛版本，在这些关系中，关系不必在中间人之间传递。我们可以说一些合理的话，即如果在A和B之间有关系，在B和C之间有关系，那么我们可以对A和C说一些东西，比如“祖母”或“叔叔”，如果你去找你父亲的兄弟，我们称之为叔叔。因此，在正常生活中，在家庭关系中，我们有文字来整理这些关系。我们也想在范畴论中做到这一点。 （34：57）这种轻微的转变使我们能够表达更多的情况。范畴论的最初创始人所想到的如此多的情况只是它现在使用的一小部分。 Strogatz（35：16）：有人告诉我，在数学的另一部分代数几何中——听起来它结合了代数和形状的东西——代数几何被范畴论和[亚历山大]格罗滕迪克等人的思想涌入所彻底改变。你能告诉我们一些这方面的事吗？我的意思是，这似乎是该领域作为数学的一部分的伟大成功故事之一。 郑（35：41）：是的，正如你之前所说，范畴论往往是关于在不同事物之间建立联系。这可以是个别的东西，也可以是数学的整个分支。我认为我喜欢抽象的一个强大方面是它使我们能够放大和缩小。它适用于多种尺度，因为它不依赖于尺度。因此，你可以使用它来研究单个对象，但也可以使用它来研究整个范畴的对象。 （36：08）范畴论开始的一大见解是，对象的总体——对象世界、数学对象——本身就是数学对象。这只适用于抽象的东西。因为如果你想到，比如说，鸟——你可以研究一只鸟。然后如果你看一群鸟，是另一回事，那不是一只鸟。然而，如果你看一个数学对象，比如一个拓扑空间，然后你看它的整体——整个拓扑空间。这本身就是一个数学对象。所以单个拓扑空间可以表示为一个范畴，而且，拓扑空间的整体也可以表示为一个范畴。然后，群体的总和也可以表示为一个范畴。即范畴论为我们提供了一种方法，不仅可以在拓扑空间之间迁移，而且可以在整个拓扑世界和整个群世界之间迁移。 （37：06）对于代数几何，我们思考的不是拓扑空间，而是几何空间。几何和拓扑之间的区别实际上是我们所说的相同。因此，我们回到了相等与等价的概念，因为甜甜圈显然不等于咖啡杯。只是有一个观点，它们是相同的。这就是拓扑学的观点。但这不是几何学的观点。几何学的观点说事物是相同的；我们确实需要思考曲率（curvature）。拓扑只真正思考连通性（connectedness）。（这是一个简化。但我认为这是本质。）几何学考虑曲率，这意味着我们将不同的东西视为相同。 （37：52）问题是，在生活中，我们对在某种意义上视为相同的东西非常灵活。我出色的博士导师马丁·海兰（Martin Hyland）经常说，有一种感觉——这是一种口号，但它不仅仅是一个口号，也是一种观点，是一种思维方式——我们总是提醒自己，有一种感觉，一件事是真的，也有一种感觉另一件事是真的。因此，从某种意义上说，我们可以将咖啡杯和甜甜圈视为相同。当然，还有另一种意义上它们是不一样的。但是我们可以在数学中做出这些选择。我认为主流数学教育肯定没有足够强调我们做出选择的能力。事实上，我们可以这样做，那种冲动，那种势在必行，通常不会给数学学生。而是已经为他们做出了选择。他们被告知，“我们要做这些事情。这样做，否则你就错了，你将无法通过这个考试。”而在抽象数学中，我们会说：“让我们选择吧！我们准备把什么看成一样？” （38：51）这就是等价的意义——这是一个比相等更灵活的概念，因为它说我们将在这种情况下做出选择，我们现在想要把哪些事情视为相同，只是为了给出一个观点，将研究如果把这些事情视为相同，世界上会发生什么事。我认为这对我们这个世界也有巨大的教训，因为我们谈论世界上的平等和公平。然后陷入非常分裂的争论，因为有些人说，“嗯，男人和女人不一样。”这是真的。男人和女人不一样。因为如果它们是相同的，我们根本不需要“男人”和“女人”这两个词。也许在乌托邦的某个时刻，我们可以摆脱谈论男人和女人，但目前我们不能。因为存在差异。问题是，我们什么时候应该将它们视为相同？ （39：37）我们可以做出这样的选择。如果我们关心这些事情，做出一个好的选择是非常重要的。我认为，就像在范畴论中一样，重点通常不是关于它们的内在特征，而是关于它们可以在社会中扮演的角色，以及它们可以在语境中扮演的角色。在几乎所有情况下，它们都可以玩完全相同的规则，因此我们应该将它们视为相同。 （40：02）在范畴论中，当你有等价的对象，或者在基本范畴中，它们被称为同构（isomorphisms）。在更高维度的范畴中，它们被称为等价，也就是说，当我们添加更多的维度时，会得到更多的细微差别。关键是该范畴并不认为这些事情是不同的。范畴实际上无法区分这些对象，因为它们可以在该范畴中扮演相同的角色。 （40：26）我认为也应该这样对待我们人类。如果人们可以扮演相同的角色，我们就不需要在他们之间做出任何区分。事实上，到目前为止，我已经想到了这一点，我想说这就是为什么我不记得人们长什么样，因为我只记得他们在我生活中扮演的角色。因此，一旦我们开始互动，我就可以通过他们的互动来记住他们是谁，而不是通过他们的外表。甚至有一种情况，有人我非常讨厌。我认出了那种特别令人讨厌的烙印。这让我想起了另一个我非常讨厌的人。然后当我遇到第三个以同样的方式让我讨厌的人时，我坐下来，我说，“等一下。”我翻阅了多年的电子邮件，意识到他们都是同一个人。实际上，我记得的只是他们与我互动的形式，而不是他们的名字。 Strogatz（41：26）：这是一个有意思的故事。真棒。好吧，我很抱歉令人讨厌的部分。但我喜欢从中得出洞察力。 （41：35）但是现在，你顺便提到了高阶范畴论，这是我最近听到的一句话。我对此感到疑惑。和你前面提到的范畴论本身就是一个数学对象有关吗？所以你可以用范畴论来研究范畴论吗？它与此有关吗？ 郑（41：54）：是的，答对了！它与我们一直在谈论的许多事情有关。如果你自己做一个范畴理论，那么你需要另一个维度，因为范畴已经有了另一个维度。因此，有许多冲动将我们推向更高的维度。这是其中之一——如果你想研究范畴本身，你需要另一个维度来处理它。这个额外的维度来自对关系的思考，因为这确实是一个更高维度的东西，仅仅思考对象。如果你孤立地思考物体，我们可以把它看作是一个零维的。它没有维度，它只是斑点。然而，如果你思考它们之间的关系，就像在不同的事物之间开辟路径一样。这是一种一维关系。 （42：38）因此你可以对自己说，我们难道不应该思考一下这些关系之间的关系吗？如果我们对生活的看法是我们应该把一切都放在上下文中，那么我们不应该把关系本身也放在上下文中吗？这种冲动是一种将我们推向更高维度的冲动，在那里我们也想思考关系之间的关系。然后你猜怎么着？我们说，“嗯，那些关系之间的关系呢？”然后我们说，“哦，这些之间的关系呢？”然后如果我们从不停止，那么我们就会到达无限。这就是我们获得无限维度范畴的方式——我们去哪里，“我们永远不应该停止思考事物之间的关系！”这些维度中的每一个都增加了情境的细微差别，就像——在证明中，我们也可以这样做。如果我们比较书，你可能会说，“哦，我觉得这本书比那本书好。然后我说，“哦，我认为这本书比那本书好，”然后我们可以，如果我们不是很微妙地体察，我们会互相大喊大叫，然后说，“哦，你太笨了，我不敢相信你喜欢那本书。” （43：31）但是，如果我们稍微一点点——如果我们有一维的微妙差别，可以谈论感官，我们可以说：“嗯，这本书有一个更有趣的情节，但那本书有更多的有趣的人物。”然后我们可以承认，我们中的一个人对角色发展更感兴趣，而另一个人对情节更感兴趣。然后我们可以比较这些，我们可以说“好吧，我们喜欢情节而不是角色吗？”然后我们可以尽可能多地继续前进，让我们的情况越来越有细微差别（nuance）。 （43：59）问题在于，它也增加了很多复杂性。因此，处理无限维度是非常困难的。所以我们试图停下来。因此，我们尝试对高维事物进行低维近似，这就是为什么一维范畴仍然有用并且具有启发性。但是，首先，人们更多地推动了进入更高维度的领域，因为我们现在正在研究数学其他部分的许多更高维度的东西。其次，因为一旦整个一维范畴理论发展起来，那么做高维就变得更容易了，因为我们在低维上更好。因此，二维范畴理论在处理一维范畴方面得到了很好的发展。现在我们对两个范畴更满意了，我们进入了更高的维度，因为当你对它感到满意时，一切都会变得更容易。 Strogatz（44：49）：非常有趣。确实，它确实以这种方式工作。我的意思是，当你只是在嗤之以鼻时，当你对某事感到满意时，即使......就像，你在书中提到，即使是数字三的概念。或者也许你的例子是二，但我可能可以概括。我想你会说些什么——两个香蕉和两个苹果，当你还是个小孩子的时候，你正在数我的两个手指，或者这两种声音。在某个时候，你只是开始固有地理解这个概念，两个的抽象概念——不是指任何特定的东西，只是两个。我们往往会忘记，二，数字二，是一个抽象的概念。 郑（45：30）：对。那些说他们不喜欢抽象的人，或者范畴论太抽象的人——也许每个人都有某种限制，到目前为止，他们已经达到了他们所适应的抽象，或者他们想做的。但是我们都可以扩展我们熟悉的抽象。我们也可以扩展我们想要做的抽象，如果我们意识到它可以在更多方面帮助我们。就像我的学生一样——他们不太喜欢数字。我的意思是，老实说，我也不是那么热衷于数字。数字真的很无聊；这就是数字的全部意义在于它们很无聊。我们把一些东西归结为一个非常无聊的本质。我对那些比这更丰富的东西感兴趣。我的学生对这些抽象概念不感兴趣。 （46：14）但是，当我们谈论社会结构，或者更努力地思考人与人之间的互动时，他们真的很感兴趣。然后这给了他们思考更多抽象的冲动。我们中的一些人只是因为抽象而喜欢抽象，因为我喜欢抽象。但有些人需要更多地被它能为我们做的事情所吸引。 （46：36）既然你在开头提到过，我个人不喜欢把范畴论称为“抽象的废话”。我认为，这句话一开始就是一种侮辱，因为一些数学家认为它什么都没做。在某种程度上，它什么也没做。但这就是重点——它所做的是发光，以便其他人可以做更多的事情。然后我认为有一个举动是收回抽象废话这个词。通常情况下，当人们感到受到侮辱时，你可以做的一件事就是为自己收回侮辱性的术语。所以人们收回了它，但我不喜欢这样，因为它不是废话。这是抽象的奇妙。这是抽象的美味。这根本不是废话，因为它可以帮助我们做事。 Strogatz（47：16）：哦，对你有好处，太棒了。我知道，我意识到这是一个非常挑衅的短语。我想激怒你一下。我喜欢你如何应对这个场合。但你是对的，“抽象的奇妙”。让我们一起吧。 郑（47：29）：我认为，如果我们习惯于抽象，那么我们就不需要用有趣的词来描述我们正在做的事情。我们做一些抽象的计算。然后我们得出了这个见解。我认为，理解数字已经是一种抽象，对于那些对抽象持怀疑态度或认为自己做不到的人来说，是非常有帮助的，因为每个人都能做到。因为我们在生活中一直在这样做。我认为这是一种非常人性化的冲动，实际上，数学似乎是一个非常做作的东西，而且确实如此。但我认为这是基于一种非常人性化的冲动。 Strogatz（48：05）：这是一个美丽的结束之处。谢谢你帮助我们看到，正如你所说的，抽象的乐趣。我想我们现在都可以庆祝它。谢谢郑乐隽博士。 郑（48：16）：谢谢你非常有趣和深入的谈话。 参考资料
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