深度思考 探究本质 ——以2019年浙江省绍兴市中考数学第23题为例

本文以2019年浙江省绍兴市中考数学第23题为例,谈谈如何探究模型本质,深度思考数学解题教学.现撰写成文,与同仁交流.

一、试题呈现

如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.

(1)在旋转过程中,

① 当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长；

② 当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.

从编目员视角看，视频文件不仅是节目或电视作品，而是待开发的影像内容宝库，要从中寻找有价值的部分，标注有价值的节目、资料或空镜头。这种判断也是一种再创造。将电视作品分解还原，当编目员从标引视角审视这些内容时，能否从中提取有价值的东西关键还在于对内容价值的敏感性，这种敏感性要求编目员在进行著录标引的过程中，需要对资源全方位分析，敏锐地获取外表属性和内特征，并迅速判定其潜在的价值。

(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由∆ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.

本题涉及等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等核心知识,考查了数学抽象、直观想象、逻辑推理、运算能力等核心素养,渗透了转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法,蕴含了基本活动经验的积累及运用.

二、解法展示

分析 第(1)问，略.

第(2)问，通过观察、分析，图2中有两个共定点的等腰直角三角形.连结CD1，则利用全等关系将求BD2的长转化为求CD1的长.

解 (1)略.

(2)如图2，连结CD1.

∵AD2=AD1,AB=AC,

∠BAD2=∠CAD1,

∴∆ABD2≌∆ACD1,∴BD2=CD1.

∵AD1=AD2=30,∠D1AD2=90°,

放在以前，周小羽是断然不会去帮忙的。但现在的他不这样做了。常爱兰一度也很好奇，难道是上次一顿打打好了么。驮子更是高兴，说，你看看你看看，小羽这不懂事了么。

∠AD2C=135°,

∠CD2D1=∠AD2C-∠AD2D1=90°.

在Rt∆CD1D2中,

三、变式探究

抛开原题的实际背景,我们尝试对问题(2)进行变式探究.

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1.返璞归真

变式1 如图3,P是等腰Rt∆ABC内一点,∠APC=135°,PA=30,PC=60.求PB的长.

根据波利亚在《怎样解题》中提到的解题四步骤,引领学生进行下列思考.

如我校经过飞思卡尔、机器人擂台等比赛，获得了学校、企业等有关方面的投资和建设，建成了相关实验室(飞思卡尔实验室、机器人实验室、周立功单片机实验室等)，促进了实验教学的发展，科创竞赛及学科建设参与实验教学后的情况具体如表1所示，教师在理论教学到实践实验指导中不断发现问题，并加以完善和提高教学方法，通过学科建设、科研项目和实验教学的有机结合，促进教学发展，提高了学生对实验技术方法的研究能力[11]。

(1)理解题意

思考1 题目中有什么已知条件?求什么?

发现1 已知等腰直角三角形内部一点P到两个顶点的距离已知,以及夹角,求该点P到第三个顶点的距离.

思考2 条件充分吗?这几个条件的作用是什么?

发现2 问题中的角度大小确定图形的形状，线段的长度确定图形的大小,则图形唯一确定性.故PB是可求的,条件是充分的.

(2)拟定方案

思考3 PA,PC的长与PB有何关系?等腰Rt∆ABC与∠APC=135°对求解有何帮助?

发现3 PA,PB,PC三条线段不在同一基本图形中,因此考虑利用转化思想,把分散的条件集中到某一个基本图形中.等腰Rt∆ABC中蕴含着90°与45°的角,而135°正是这两个度数之和,可考虑把135°角分割,去尝试构造特殊三角形解决问题.

思考4 你见过这道题或者与之类似的问题吗?能联想起有关的解题策略和方法吗?

发现4 要实现线段的等量转化,通常考虑构造全等.而AB=AC,故考虑将∆ABP绕点A逆时针旋转90°.

(3)执行方案

3.准备工作一定要充分。西方人是讲究契约精神的，也就是说在解决问题的过程中必须拿出实实在在的材料或证据论证自己的观点。不能仅凭口头的承诺，必须要落实到纸面或者电子文件上面。如上文案例，在后来的沟通过程中，我把土建专业关于地质情况的报告和API650 的相关规定都打印出来了，白纸黑字就很具有说服力。

思考5 每一步的推理计算是否正确?是否合乎逻辑?其理论依据是什么?

解 如图4所示,将∆ABP绕点A逆时针旋转90°至∆ACP′,连结PP′.

由旋转，可知

又∠APC=135°,∴∠CPP′=90°.

在Rt∆CPP′中,有

(4)回顾推广

思考6 能否检验这个结果?问题解决过程中运用了哪些知识和方法?能否在其他问题中利用这些知识或方法?

问题虽得以解决,但不能就此作罢,应该及时回顾反思，否则教学效果会大打折扣.你能在别的题目中利用这个结果或方法吗?这一思考可以帮助学生从解一道题,转化为解一类题,从而向更进一步地理解题目的本质迈进.基于这一思考,我们继续如下探究.

2.削弱条件

变式2 如图5,P是等腰Rt∆ABC内一点,∠APC=135°,试猜想PA,PB,PC之间的数量关系.

分析 问题的本质并没有发生变化,仍然可以通过构造全等,转化线段,得到直角三角形.继而利用勾股定理,等量代换，可得到其三边关系:

3.改变背景

变式3 如图6,P是等边∆ABC内一点,∠APC=150°,试猜想PA,PB,PC之间的数量关系.

变式4 如图7,P是等腰∆ABC内一点,∠BAC=∠APB=120°,试探究PA,PB,PC之间有何数量关系.

分析发现,我们可以类比迁移前面的方法,去解决不同背景下的变式3和变式4.

4.灵活运用

变式5 如图8,P是∆ABC内一点,试求PA+PB+PC的最小值.

以上所述的原生带状构造不显著，主要是遭受钠长石化交代作用，因此含矿伟晶岩内钠长石交代集合体常呈带状分布，由于钠长石交代作用强度不同，区内划分为：①强钠长石化带：微斜长石含量小于10%；②弱钠长石化带：钠长石含量小于10%；③中等钠长石化带：微斜长石含量大于10%，钠长石含量大于10%[5]。

解析 从问题的表征来看,变式5与前几个变式一样,都是三角形内部一点到三个顶点的距离问题,区别在于更一般的三角形背景.要求线段之和的最小值,通常利用几何变换，将线段之和转化为折线段的长度，再由“两点之间线段最短”求得最小值.

如图8，作等边∆BPP′和等边∆BAA′,连结P′A′，CA′.

由“手拉手”全等型，可得∆A′BP′≌∆ABP,

∴PA=P′A′,BP=P′P,

∴PA+PB+PC=A′P′+P′P+PC

≥CA′，

足不出户、夜不闭灯，看着曲线吃饭，抱着图纸打盹，李淑荣已经没有了时间的概念，剩下的只有分析、论证、论证、分析……解释评价工作终于完成了，李淑荣带领项目组人员又马不停蹄赶赴汇报现场。可是，连续30多个小时的高强度工作，路上8个小时的奔波，再加上患有低血糖，让李淑荣在汇报现场体力不支、意外虚脱。甲方得知原因后非常感动，宣布会议暂停，李淑荣一口气吃掉甲方临时找来的大半包饼干才稳住心慌，又拿起荧光笔，继续完成了汇报……

即A′C即为所求最小值.

全球气候变暖严重制约了我国农业经济的发展，大范围的农业气象灾害使我国深受其害。当下的农业生产应将关注点放在防灾减灾工作上，并以此作为工作重心。希望本文提到的建议能帮助各地在面对灾害时制定有效的机制并对灾害加以控制，也能为以后的防范工作起到参考作用。

校园安全管理注重过程、实践、落实相关制度、抓好安全教育、关注安全工作的所有环节，及时的发现问题解决问题。建立和完善校园安全管理制度需做好以下几点：一是建立和落实校园安全责任制，将各项安全工作责任到人，且要狠抓落实；二是构建校园安全教育体系，将安全教育融入日常教学和工作中，形成人人参与的模式；三是完善学校安全应急预案和培养应急人才，建立风险评估体系。既能确保应急处置工作有序开展，又能降低校园师生生命财产安全风险。

求长度用勾股,构造Rt∆A′CH.

∵∠BAC=75°,∴∠CAH=45°,

在Rt∆A′CH中，

1.良好的企业文化将在企业上下形成高度的认同感，有利于内部沟通、配合与协作，从而提高企业的经营效率。系统化的企业文化，所具体表达的是一种极为成熟的相互欣赏和积极的理念，这也将成为弥补和优化企业制度的内容。所以当企业真正地形成了独立且系统的文化体系之后，将使整个企业上下形成一致的认同感，这就为调动企业员工的工作积极性提供了重要的帮助。

∵A′H=A′A+AH=10,CH=4,

四、感悟提升

1.解题教学呼唤深度思考

底层为沉积岩或结晶岩；沉积岩按石油钻井技术体系考虑，结晶岩破碎带、漏失带等，强致斜岩石；孔底地层温度约175℃，循环孔底温度约100℃。

如高斯所言:“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现.”

原题第(2),连结CD1,可得到∆ABD2≌∆ACD1,即运用了“手拉手”基本模型.“手拉手”只是全等三角形的一种表象特征,其内在本质是什么？在运用上又有什么效用？是我们值得深思的一个问题.教师从原题出发,引导学生变式探究,层层递进,让学生感悟到这一基本模型应用的核心是转化思想,通过构建全等转化等量线段,把分散的条件集中到某个图形中.

⑥http：//tv.cctv.com/2016/11/01/VIDEUkD2nUHPLa19Wy2Q3H1O161101.shtml

2.解题理论引领深度思考

解题是数学学习的核心,解题教学不仅培养了学生的解题能力,同时发展了学生的深度思考能力,让学生对解题有自己的见解及思路.

波利亚在《怎样解题》中提到的“理解题目——拟定方案——执行方案——回顾推广”解题四步骤,正是我们解题教学中应该坚持的理念.此四步骤是从学生思维的最近发展区去激发思考,实现思维的逐步提升.在变式1的教学中,我们需要帮助学生弄清“PA,PC的长与PB有何关系?关于135°有怎样的联想?怎样添加辅助线?是什么使你这样想,这样做的?” 在变式5的教学时,追问“问题所求与已知条件有什么关系?求线段和一般怎么解决?你有解决此类问题的经验吗?怎么添加辅助线可以转化线段?”等等,使学生感受从基本概念、基本原理及其联系出发去思考和解决问题的策略,教会学生分析问题,找寻解决问题的通性通法,使学生知其然,亦知其所以然!

3.变式探究促进深度思考

华罗庚认为:“解决问题要善于退,退到简单而不失重要的地方,先解决特殊问题,再以退为进,解决一般性问题.” 从原题到变式1,再到变式2,就是一个从特殊回归一般的探究历程,这样能更好地认识问题的数学本质,提炼基本图形,形成一般性的解题策略,从而提升学生的数学抽象能力.

田文镜的治河过程并不是一番风顺，在河兵管理上，一些建议曾受副河臣嵇曾筠奏停，以致田文镜再复请谕。再之后，对于“官绅一体当差”、“一体纳粮”主张的支持虽对于黄河和民生都有巨大的积极的影响，也恰与雍正帝当时的新政思想不谋而合，但自在中国古代科举社会里朝廷一向实行“国家养士”的政策（即知识分子取得了秀才的身份，政府就会开始按月供给其粮食，并且免去他们的劳役）这项主张无疑是废除了官员地主的特权，损害了知识分子阶层的利益，因此推行的阻力较大，甚至还引起了历史上雍正年间有名的河南罢考事件。

波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相似,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能附近就有好几个.”变式3和4就是在前面探究基础上做了关联化与多角度化的思考：这个三边关系是如何得到的?将原有背景图形作一番更改,是否还有类似结论成立?这些结论还能运用哪些问题的解决上?关联化的思考有助于学生加深对基本图形的数学本质的认识和所蕴含的数学思想方法的理解,建立起系统的知识方法结构,从而提升学生的逻辑推理能力.

深度思考的方法有特殊化与一般化、关联化与多角度化、直观化及具体化等,不一而足.但无论作何种思考,教师都要基于学生的思维发展去设置问题,展开教学活动,引导学生运用所学的数学知识解决相关问题,从而培养学生的思维品质和应用能力.

参考文献

[1]G·波利亚.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社,2007.

[2]罗增儒.核心素养与课堂研修[J].中学数学教学参考(中),2017(07):2-10.

[3]蒋孝国,周德明.提升学生的核心素养:深度思考的视角[J].中学教研(数学),2019(01):15-18.

[4]王姣.对一道中考原题的变式探究[J].中学数学(下),2020(01):24-25.

[5]李志平.审题、联想、反思——初中数学习题教学“三”策略[J].中学数学(下),2020(01):36-37.