当美与数学相遇时2

续接上一篇，请点这里链接。

8. 数字 73

如果你是美剧《生活大爆炸》迷的话，就一定听说过谢耳朵关于为什么 73 是完美数的演说，以下是原话：

“73 是最好的数字。为什么呢？73 是第 21 个质数，它的对称数字 37 恰是第 12 个质数，而 12 的对称 21 则是由 3×7 产生。

“73 的二进制 1001001 也恰是个回文数，正过来倒过去都是 1001001。”

这句话取自第十季第四集的节目，巧合的是这是第 73 集中的台词。

7. 自然对数函数的底数e

自然对数函数的底数 e，又称欧拉数。这个以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名的无理数与 π 同样重要。有趣的是，欧拉常数 e 已经被精确到 31415926535897 位(2020年12月5日记录)。

e 的诞生来自于下面 17 世纪雅各布·伯努利在研究复利时所发现的公式：

对于上面式子考虑的极限值 e 到底是多少呢？伯努利并未成功算出，而是由 50 年后被欧拉攻破。欧拉不仅算出了 e 的 18 位数，并且还借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数。

e 的连分数展开式如下所示，请观察里面的规律：

注意到其中的模式了吗：

很多增长过程的问题都可以用指数函数 e^x 来模拟，并且这里还有个很重要的性质——它与自身的导数恒等。

就这个性质下面是一个相关的数学小幽默图片：

6. 斐波纳契数

提到历史上比萨的列奥纳多这位人物，或许很多人都不晓得，不过如要说起他的外号就是斐波那契，那多数人肯定听说过。而排名第六位的斐波那契数也因这位数学家的外号而闻名世界。

1202 年，斐波那契在所著《计算之书》研究了兔子繁衍成长率的问题，他用简单的加法技巧创造了世界上最有趣的数列之一。顺便说下，他还将现代数的书写方式和位值表示法通过著书引入欧洲，这绝对也是非常重要的贡献了。

公平地讲，现在有证据表明早在 6 世纪印度数学家在斐波那契之前就知道这个数列，但我们仍然按照主流说法讨论，继续称之为斐波那契数列吧。

斐波那契数简单地由满足下面这个简单的递归方程构成，并生成下面这个趋于无穷大的数列：

这个数列最美的地方在于它与自然界存在着紧密的联系。举个例子，人们可以在向日葵花盘能看到它的身影，也可以在雏菊花瓣观察到它的踪迹，以及小蜜蜂的筑巢，等等等等……，它似乎大自然最深处的秘密里处处隐现。

如果来观察数列中相邻的 2 个数，当趋近无穷时，它们的比值(x_n / x_(n-1))会越来越接近 1.61803398，也就是我们常说的黄金比例，我们会在后面再单独讨论这个美丽的数。

5. 数字 23

许多人都看过这样的一部电影：金·凯瑞主演的《灵数23》。男主自从读过一本带有数字 23 的书，他似乎就被数字 23 缠上了。奇怪的是这个数字和他生活中很多事情似乎有神秘联系，影片中这个数字这似乎是通灵的完美例子。

而在数学里，有个与一般直觉相抵的生日问题。它指的是只要有23人，这群人里有两人同一天生日的机率就会大于50%。

如果有怀疑的话，不妨动手来一起算下。求出至少两人生日相同，重点在于算出每个人生日都不同的概率。

其中 p'(n) 就表示 n 个人中，每个人的生日日期都不同的概率。

计算可得，当 n=23 发生的概率大约是 0.507。顺便提一下，如果总共有 70 个人概率就会高达 99%。

4. Pi(π) 与 Tau(τ)

数学中最耀眼的明星阵营里必有圆周率的身影，人人都认识这个数。它是圆的周长与直径之比，如果画一个直径为 1 的圆，它的周长就等于 3.14159…。人们把这个无限不循环小数用字母 π 表示。

暂时不管这个中学时期的概念，先来看看下面这两个有关 π 的事实：

• 它的小数部分是无限不循环的。
• 我们都知道 π 的近似值是 22/7，但我们没法给出一个分数精准的描述 π，因为它是一个无理数。

那么为什么还要提 τ 呢？τ 被称为圆常数，其值为圆的周长与半径之比。一些数学家支持用 τ 来代替 2π，也就圆的周长与半径之比。因为很多问题中 2π 频频出现，这样做能更便于计算和表达跟圆有关的问题。

3. 欧拉恒等式

这就是为什么我在标题中用了"美"这个词。难以想象，数学中一些最美丽的概念，竟然有这么简洁的形式。先来回顾一下之前提到的的概念：

• 自然对数函数的底数 e。
• 虚数单位 i。
• 圆周率 π

上面这三个数就可以组合成下面这个方程，并得出 -1 这个简单结果。

怎么从这三个数学常数得到 -1 的呢？正如前面介绍那样是 i 拥有了把 2 变成 -1 的力量。欧拉恒等式是欧拉公式的一种特殊形式，后者如下所示：

把欧拉公式绘制到复平面上（以实数轴和虚数轴建立坐标系），就会得到一个单位圆。

如果令 x = π, 我们就会得到如下方程：

了解到 cos π = -1 以及 sin π = 0, 右边就会出现 -1：

还可以通过等价变换来让方程变得更漂亮一点：

这样就更加深刻，包含了数学中 5 个最重要的数学常数：0、1、e、π 和 i。并且包含了三种最基本的算术运算：加法、乘法和幂运算。绝对令人惊讶的是，这些看似无关的数都被这个简洁的公式联系起来。

2. 数 6174

6174 是卡布列克常数(以印度数学家D. R. Kaprekar命名)，又称黑洞数。这个数有很有趣的特点，一个四位数如果按下面的方式反复计算，就会得到很神奇的结果。

• 取任意一个至少有 2 位数不同的四位数。
• 分别把这个四位数按升序和降序的方式重新排列，会得到两个新的两位数。
• 现在用这两个数中大数减小数。
• 如果不等 6174，重复第二步。

如果循环的次数足够多，最终会得到 6174。为什么无论选什么数字，都会得到 6174，这就是神奇之处了。可以另外再看几个示例，先用 2714 做个实验算下看看吧：

• 7421 -1247 = 6174

换个数字，再拿 3678 试一试：

• 8763 -3678 = 5085;
• 8550 -0558 = 7992;
• 9972 -2799 = 7173;
• 7731 -1377 = 6354;
• 6543 -3456 = 3087;
• 8730 -0378 = 8352;
• 8532 -2358 = 6174

这些数就像被吸入到黑洞里某个固定点中，故像 6174 这样的数也被称为黑洞数。而其他位数的数字也有类似的情况，比如 9 位数中有 2 个黑洞数： 554999445 和 864197532，感兴趣的朋友可以算下。

6174 还属于哈沙德数(Harshad number)，也被称为尼云数，是指能够被其各个数位上的数字之和整除的自然数：例如 6174/(6+1+7+4)=6174/18=343。这就又为该数添了一笔神秘色彩。

1. 黄金比例

之前提及过这个黄金比例，但这可能是世界上最为重要的比例，以下是它的一些有趣的特性：

• 1.618… 与 0.618… 互为倒数，也就是 1.618… 的倒数是 0.618…，0.618… 的倒数是 1.618…，人们称两者为黄金比例共轭。可以有这个式子表示出来：1/ϕ≈1+ϕ
• 它在自然界中广泛存在（就像前面提到的那样）。有些树的生长就是很好的例子，树干先是自由向上生长，长着长着它就拥有了一个分叉，于是产生了 2 个新的起点，其中一个起点会长出 2 个是新的分叉起点，而另一个则不会。这个模式这个规律就好像是斐波那契数列一样。

• 黄金比例广泛存在于几何学中，许多建筑和艺术品中都含有黄金比例。希腊的巴特农神庙就是典型的例子。

• 五角星内部也暗含着黄金比例。

上面就是所介绍数学上 12 个有趣之数，希望通过本文这一简短的探索之旅，能让对面的你能像数学家一样欣赏数学之美，或能从一个新的视角来观察周围的环境并找到隐藏的美丽。

创组团队 | 编译：小白 校对:小白，公理