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USTC202101 求函数极限 解 USTC202102 求积分 解 注意到 于是利用积化和差公式得到设则有USTC202103 若 其中具有二阶连续偏导数,求解 计算可知 USTC202104 设,求. 解 计算可知 USTC202105 已知由 确定,求的弧长.解 计算可知 USTC202106 计算曲面积分 其中是由所围成的立体外侧.解 分别投影并计算得到 USTC202107 证明函数项级数 在上一致收敛,在上也一致收敛.证明 当,时,注意到 由Weierstrass判别法知此时函数项级数在上一致收敛,进一步由于 且关于单调递减且关于一致有界,下证明在上一致收敛,由于 故其关于一致收敛于0,且由积化和差得到得到由Dirichlet判别法命题得证. USTC202108 试求的Fourier级数展开式,其中不是整数,并由此证明: (1) . (2) . 证明 注意到,进一步计算得到 故 由收敛定理,令得到进一步由Parseval等式知得到令,得到,化简得.USTC202109 若在上连续,证明:存在,使得. 证明 设,则 又,由Rolle定理知,存在,使得USTC202110 求实系数二次多项式,使得对任意的,成立 证明 设,注意到 取于是有USTC202111 若在上连续,且满足 证明: .证明 考虑 由Cauchy-Schwarz不等式知代入中得到USTC202112 若在上有界连续,且 证明:在上一致连续. 证明 若不然,则存在,使得对任意的,都有,而,不妨取,有趋于无穷的数列与趋于0的数列,使得,不妨考虑对任意成立,由于有界,于是也有界,此时有由题意得 重复上述步骤(或数学归纳法),得到此时有,这与在上有界矛盾,命题得证. |
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