【原】一维谐振子：求解厄米方程

厄米方程是数学物理问题中经常遇到的微分方程，许多实际问题的微分方程经过适当的数学处理后都可以化为厄米方程。求解厄米方程最常用的方法是将方程的解展开成幂级数。

除了无穷远点之外，厄米方程没有别的奇点，因此，可以在原点上将方程的解展开成幂级数：

将这个级数形式的解代入厄米方程中，微分方程就被转化成级数方程。对级数方程做适当的数学处理就得到系数之间的递推关系：

由此可以得到方程的两个线性无关解

利用系数之间的递推关系可以得到：

因此，除了无穷远点之外，厄米方程的这两个解都是收敛的，也就是说，它们的收敛半径等于无穷大。这种收敛性让我们想起以下函数的级数展开：

这个级数的收敛方式与厄米方程的级数解的收敛方式相似，并且收敛半径也是无穷大：

于是，在无穷远点，厄米方程的两个解有这样的渐近行为：

因此，如果厄米方程的两个级数解是无穷级数，那么，波函数在无穷远点就会有如下的渐近行为：

这种渐近行为显然不满足波函数在无穷远处趋于零这个物理要求。