黎曼几何基本知识本节我们要给出测地线的概念,有两种途径定义测地线.一种是将测地线视为欧氏空间中的直线按下述意义的推广:欧氏空间中,直线的切向量是常向量,即切向量场沿直线的导数为零;另一种途径是将测地线看做局部距离最短的曲线.
则沿曲线的向量场的协变导数为 显然, 此定义不依赖于基的选取. 如果曲线的切向量可延拓为定义在的邻域内的向量场,则上述的定义和限制在上一致. 但是,这种延拓并不总是可能.
注意,测地线的切向量的长度为常数,即为常数. 事实上,对, 有 这里,我们用了Leibnitz法则和的事实. 接下来, 我们介绍熟知的局部坐标系下的测地线方程. 令为的局部坐标卡,使得为从到中区域的局部微分同胚. 令为中曲线,则 其中为中曲线的参数方程. 通常认为在下的像与本身相同. 注意,, 局部坐标系下的测地线方程实际上是关于的方程组. 令为光滑函数, 根据切空间的定义, 因此, 接下来我们根据协变导数的定义运算 如果为测地线,则. 从而满足微分方程组 根据标准的常微分方程理论,上述方程组有短时间局部解,也容易看出,测地线是弧长第一变分的临界点. 后面, 我们将讨论弧长第一变分. 在多变量微积分中,适当的坐标系,例如,直角坐标系和球坐标系, 扮演重要角色,因为它们可将复杂的计算和表达式简化. 对于微分几何,由于人们处理的对象很复杂,找到合适的局部坐标尤为重要. 首先, 让我们利用测地线引进称做指数映射的自然局部坐标,上面给出的测地线方程是一个二阶二次非线性常微分方程组. 由于流形是光滑的,方程的也是光滑的. 根据标准的常微分方程理论知,对于任何点和向量, 存在唯一的测地线, 使得且. 这里,可能依赖于和. 如果,则考虑曲线 显然,且, 此外,曲线对于有确切的定义, 且 其中. 因此至少是在时间段上存在的测地线, 满足. 注意, 是上的任意向量. 根据常微分方程的理论,不难证明, 存在满足下述性质的极大开集: (i); (ii)对所有, 存在唯一的测地线, 使得 (iii) 至少在时间段上存在. 接下来我们要给出 定义3:(指数映射) 给定, 指数映射是由 给出的,从到映射, 其中是满足且的测地线. 注: 是在零切向量的某个邻域上的局部微分同胚. 根据反函数定理,只需证明在处的导数非奇异. 我们将证明在处实际上是恒同映射. 为证明这个事实,我们回忆从一个光滑流形到另一光滑流形的光滑映射的导数的定义. 在处的导数是从到的线性映射,使得 这里, 是上任一满足的光滑曲线,而是在下的像, 即. 注意,这个定义只不过在重新叙述链式法则. 接下来我们取以及定义域为的. 选取任意,令, 则, 根据上面关于流形间光滑映射的导数定义,有 由指数映射的定义,对于, 其中为测地线,满足和, 这里的导数是关于求导. 由测地线方程局部解的唯一性,我们知 其中是满足的测地线,因此, 即 不过是从出发,初始切向量等于的测地线,从而 这表明, 由于是包含0的区域中的任意向量,因此为恒同映射. 指数映射是切空间到流形的自然局部微分同胚. 一般地, 我们当然不能期望为整体微分同胚. 下面称为单射半径的概念度量了仍为微分同胚的程度.
对所有的下确界,称为整个流形的单射半径,记做. 与之密切相关的概念称为共轭点. 定义:(共轭点)令, 为指数映射. 称为点为的共轭点, 如果是的奇异值. 即存在, 使得且线性映射奇异. 单射半径和共轭点的知识对于理解流形的结构和研究Ricci流是重要的. 我们将在下一节介绍有关单射半径下界的一些结果. 在微分几何中,许多对象,例如, 联络,曲率等, 牵涉相当复杂的表达式. 因此,利用有效的局部坐标系以简化记号和运算非常充要.下面,给出一个最有用的坐标系. 定义5:(局部法坐标系) 令为定义在上的指数映射. 令为的单位正交基,即, 给定定义 则映射为将映到的局部微分同胚. 局部坐标卡称为点附近的局部法坐标系. 注: 在局部法坐标系下, 在点(其坐标为)处满足: (i); (ii) (i)的证明尽管很短,但需要小心概念. 令为上的光滑函数. 根据局部法坐标系的定义. 因此, 在处, 有 这里只是用了曲线切向量的定义, 即. 因为任意, 故为已选定的的单位正交基. 因此, 我们已证明 为证明断言(ii), 取, 则在局部上为测地线,满足且. 在局部法坐标系下,的参数方程为 因此满足测地线方程,而这蕴含 注意到, 如果, 这个方程并不意味着. 这是因为对的不同选取,点可以不同. 但是, 通过取和任意的,上述同一方程蕴含. 这就证明了断言(ii) 在介绍完有关测地线的这些方程和计算后,让我们用更为直观的观点讨论测地线,即把它看做局部距离最小的曲线. 下面我们先回想曲线长度的概念. 定义6:(曲线的长度(弧长)) 令为Riemann流形上的分段曲线, 则曲线的长度(弧长)为 与之紧密相关的概念是曲线的能量. 定义7:(曲线的能量) 令()为Riemann流形上的分段曲线,则曲线的能量为 定义8:(曲线的变分)光滑曲线的变分是将映到的二元光滑函数, 其中满足. 曲线在处的切向量记为; 曲线在处的切向量记为;对任何固定的,曲线记作.
这里是曲线在上的长度. 证明: 我们只给出第一个公式的证明. 我们从 出发,在下面的计算中, 我们将用Riemann流形上的向量场的协变导数的性质. 但是, 和都不是上的向量场, 它们通常只在低维子集内有定义. 然而,Riemann几何基本定理中的法则仍能适用, 因此 这里我们用了恒等式(Riemann几何基本定理中的无挠条件) 由于, 从而命题得证. 从弧长的第一变分公式知,连接两点的距离最短的曲线一定是测地线. 如果位于足够小的邻域内,连接这两点且位于此邻域内的测地线也是距离最短的. 然而,如果不靠近,情况就可能不一样. 有趣的是在临界的情形,即那些最远的点,测地线越过它们之后就不再是距离最短的. 这些点形成所谓的割迹,描述如下: 定义10:(割迹) 令为完备流形,且, , 记为满足的测地线,定义 则的割迹是集合. 割迹中的每个点都被称为割点. 接下来,我们考虑第二变分公式. 命题11: 给定长度为的以弧长为参数的测地线, 令为双参数光滑变分,即是从到的光滑映射,且, 则在处, 以及 证明: 由第一变分公式的证明知, 因此, 根据无挠条件和曲率张量的定义,上式化为 如果, 则, 且由为测地线知 因此, 于是, 积分上式,便得命题中的第一个公式. 第二个公式可类似地证明. 在能量和弧长的第二变分公式中,主项是 记, , 则上式化为 如果将能量或弧长看作是曲线的泛函, 则可看成是泛函的Hessian,它扮演着与函数的Hessian相类似的角色. 定义12:(指标形式) 令是长度为的以弧长为参数的测地线,则如下定义的双线性型 称为的指标形式. 这里,和是沿的向量场,而分别是,沿的协变导数. 注意到, 把上式代入的指标形式,得 此公式引出了下面的定义.
注: 根据公式(1), 如果其中一个向量场为Jacobi场,则指标形式由端点处的信息决定. 即如果是Jacobi场, 则 这个性质使得利用Jacobi场可简化许多表达式,例如,体积形式,Laplace算子等.基本的体积比较定理就是按这种方式推导出的. Jacobi场的另一重要性质是它们描述了指数映射的导数. 更确切的说,我们有 命题14: 令, , 为测地线, 则 其中是沿的Jacobi场,满足以及. 注:回想: 将中的球映到, 因此是从到的映射. 由于是线性空间,故和同构,因此没必要区分着两个空间中的向量. 对于充分小的数和, 考虑变分 则由链式法则可得 定义向量场为在处的值, 根据协变导数的定义 由于显然满足初值条件及, 因此我们只需证明是Jacobi场. 事实上, 这里我们用到是测地线,因此. 下面的两个命题是Jacobi场的两个直接应用. 命题15: 令为完备流形上由测地线连接的两点,满足, , 且. 则是的共轭点,当且仅当存在沿的非平凡Jacobi场, 使得. 证明: 必要性 假设满足. 如果共轭, 则根据共轭点的定义,存在, 使得. 定义上的一族曲线 因向量场 是沿曲线的Jacobi场, 根据链式法则, 由假设, 显然我们有. 但, 因此非平凡. 这证明了命题的必要性. 充分性 假设存在沿的非平凡Jacobi场,使得, 且, 则. 定义, 因为且 这表明是的共轭点. Jacobi场的另一个应用是它们能刻画局部法坐标系及与之相关的测地球坐标系,这简化了许多计算. 令是以为心, 为半径的测地球,即 假设这个球和的割迹不相交. 则指数映射的逆映射存在且是上的局部坐标映射. 令为的单位正交基,中的每个点在这个坐标卡中都能表示为坐标, 即, 由局部法坐标系的定义,知为的局部法坐标系. 定义16:(测地球坐标) 令为的局部法坐标,则在的球坐标系中的坐标称为的测地球坐标. 命题17: 令, 且和的割迹不相交. 这里是中的单位向量且. 令为的局部法坐标,则有 其中是沿曲线的Jacobi场, 满足及. 证明: 对任何固定的, 令. 因为球不包含的任何共轭点,因此非奇异,从而 是的一组基. 事实上,它不是别的, 正是局部基. 根据定义,需要验证,对任何上的光滑函数, 令为测地线, 则 其中是沿的Jacobi场,满足和, . 因此, 为的典范基. 在讨论指数映射的一些局部性质后,我们转向完备流形的概念,它是基于指数映射的整体性质. 定义18: 如果Riemann流形上的任何测地线可延拓为定义在整个实轴上的测地线,则称此流形是测地完备的. 下面的定理,称为Hopf-Rinow定理,给出了测地完备流形的有用的描述: 定理19:(Hopf-Rinow定理) 下面有关Riemann流形的陈述等价: (i)令为由定义的距离函数,即对于, 是关于的完备度量空间. (ii)对某个点, 指数映射定义在整个上. (iii)对任何点, 指数映射定义在整个上 (iv)是测地完备的. (v)中的任何两点都能用最短测地线连接,即长度等于两点间距离的测地线. 注: 根据这个定理,人们通常称测地完备流形为完备流形. 在证明定理之前,我们叙述两个和证明有关的引理. 其中之一是Gauss引理,这个引理至少有两个证明,这里我们将采用利用Jacobi场的证明. 下面的记号将在引理的证明中用到. 令,对, 定义$B_0(0,r)=\{v\in T_pM: ||v||<r\}$, 并且$b(p,r)$是$m$中的度量球,即$b(p,r)='\{x\in' m|='' d(x,p)<r\}$.<='' p=''></r\}$.<=''>
证明:由链式法则,有. 而且 其中是沿的Jacobi场, 满足以及. 因此, 由于是Jacobi场,而是测地线, 我们有 因此, 为常数. 利用知,当时, 这表明,从而 得证. 最后,利用了和的等价性,对于与中以0为心,为半径的球面相切的任何向量,就有. 由此根据刚证明的公式, 便知和测地球面正交.
证明: (1)取足够小,使得为上的微分同胚. 设点, 则存在中的单位向量, 使得. 我们将证明, 即, 且测地线为最短测地线. 令为连接和的光滑曲线. 首先我们假设对所有, 停留在内, 则存在函数以及单位向量, 使得 根据链式法则,则有 这里, 由于被看作是欧氏空间中的向量,因此就是. 又由于是单位向量,根据Gauss引理,有 上式两边对求导得,. 再用Gauss引理,有 所以 这表明 注意到, 由于充分靠近的原点, 因此非奇异, 从而上式中等号成立当且仅当, 这意味着的长度的下确界是, 且若的长度是, 则有, 即是测地线. 令为这样的测地线,由于是上的微分同胚,且, 故. 因此,就是证明开始时的测地线. 如果跑出,则它在某点处穿过边界. 由上面的论证,它的长度大于. 无论如何, 我们证明了, 且距离最短. 我们也证明了. 当被任何更小的正数取代时,这一包含关系显然也成立. 由此得结论 为完成证明, 我们只需要证明反向包含关系成立. 选取点. 令为连接的光滑曲线,则存在数, 使得点. 在前面,我们已经证明, 因此, 对所有连接的光滑曲线取极小,上述不等式化为 这里是上的某个点, 的存在性由的紧性保证. 因此, 于是 由 以及结论可直接得到. 现在开始Hopf-Rinow定理的证明,主要的工作是证明(i)——(iv)其中之一蕴含(v). 一旦这点获证,其余的证明就很常规.显然,(iii)等价于(iv), 而(iii)蕴含(ii). 证明的顺序是: (iii) (v), (iii)(ii) (i)(iii). 证明:(Hopf-Rinow定理的证明) 假设对任何, 定义在整个上, 选取两点, 令充分小. 根据上面的引理的第(2)部分, 存在使得 再根据上面引理的第(1)部分,存在单位向量, 使得. 根据假设,对所有有定义. 令 如果我们能证明, 则 从而, , 且. 因此是连接和的最短测地线. 我们用反证法证明. 假设, 再次应用上面引理的第(1)部分于点和知,存在点和, 使得 由的定义知, , 所以 这蕴含 从而, 这里的所有不等式均为等式. 特别地 令为连接和的最小测地线,则拼接起来的曲线至少是长度为的分段光滑曲线. 由于这条曲线是距离最短的曲线,因此距离的第一变分公式蕴含是光滑测地线. 注意到,和在以开区间上重合,则测地线方程的唯一性说明,是的延拓,即. 此外, 已证是连接和的最短测地线,因此,的任一段都是最短测地线. 显然,当被任何取代时, 都有 这和的定义矛盾. 至此已证(iii)蕴含(v). (iii) (ii) (i) 由于(ii)是(iii)的特殊情形, 我们只需证明(ii)蕴含(i), 即如果对某个, 定义在整个上, 则是完备度量空间. 令是Cauchy序列, 根据(v)(它是(iii)的推论), 存在单位向量列, 使得. 由于的单位球面为紧,故有一子序列收敛到单位向量. 又因为, 我们知道, 为一实Cauchy列. 可看成从出发, 初始速度为的测地线上的点. 假设当时, , 则由测地线方程的有限时间解对初值的连续依赖性知,. 因此, 时完备度量空间. (i)(iii) 假设是完备度量空间. 取及. 令为使有定义的的上确界. 假定有限, 则选序列, 使得当时,. 于是序列为中的Cauchy列. 令为此序列的极限. 根据测地线方程,以为初始点, 可将光滑地延拓到之外,这表明. 从而完成了Hopf-Rinow定理的证明. 在几何分析中,常需要计算距离函数的Laplacian. 利用Jacobi场,可将距离函数的二阶微分转换为指标形式,而后者牵涉流形曲率的积分表达式, 这显然有重要的含义. 例如,如果曲率有一定的界,则可得距离函数的Laplacian的界,这种结果被称为Laplacian比较定理. 还可以类似地推导出体积比较结果, 这将在下节中介绍. 命题22: 设为维完备Rieman流形,对, 令为距离函数, 是以弧长为参数的连接和的测地线. 假设与的割迹不相交,令为的单位正交基, 而是沿的平行移动. 对. 令为沿的Jacobi场, 满足, , 则下面的恒等式成立: 其中, 是指标形式; 这里为矩阵, 为上述Jacobi场,而, 并且为在法坐标系的典范基下度量矩阵的行列式. 证明: 为简单起见,记为. 根据 和函数梯度的定义知,在点处, 这里及以后,除非另外说明, 所有项都从到求和. 注意,在点的邻域内,可将延拓为向量场, 使得. 因此, 根据Riemann几何基本定理,我们有 由于, 因此,由是测地线知,, 所以 由于为Jacobi场, 则有 最后两个等式,便完成了命题中第一个恒等式的证明. 接下来,我们证明第二个恒等式. 记矩阵 计算得 这里. 当时,根据的构造知,矩阵是单位阵,从而 注意, 因而. 对, 是Jacobi场. 因此,. 再由证明的第一个恒等式, 这是关于的第二个恒等式. 最后我们证明涉及的最后一个等式. 令为同一曲线的使得的的Jacobi场. 我们断言:存在常数矩阵, 使得. 这是因为,和所满足的Jacobi场和所是满足的Jacobi场方程式二阶线性, 如果有使得, 则两Jacobi场和将有同样的初值及同样的初始导数, 因而它们必定处处相同. 以记矩阵, 其中为上述Jacobi场,而, 则存在常数矩阵, 使得 注意到, 当时, 我们有, 所以 从而 因为对, , 并且. 这里为法坐标系下的典范基. 因而 这表明,对, 注: Jacobi场存在且可由显式表示, 其中 , 而满足 下面的定理说的是指标形式在沿最短测地线的Jacobi场上取得最小值.
证明: 注意到,在的端点处为零,而的距离最短. 根据距离的第二变分公式,有 利用分部积分,容易验证, 而 所以, 且 下一个结果,常被称为指标基本定理,说的是不包含共轭点的测地线也满足上面定理的结论. 和上面定理不同的是,没有假设测地线是最短的. 这个定理的直接推论是:不包含共轭点的测地线在所有和它充分接近的曲线中长度最短.
证明: 取的一组基. 则存在沿的Jacobi场, 使得以及. 由沿不存在共轭点的假设知,是唯一的. 这里我们用到Jacobi场是线性的这一事实. 接下来取沿的Jacobi场和向量场, 使得且, 则存在常数和函数, 使得 由于是Jacobi场, 则由表明 下面计算 这里我们用到等式. 它容易通过微分获得验证. 上述计算的第2等号右边的第一个积分满足 其中又用到Jacobi场方程和. 将其代入, 我们看到除两项外其余全部相互抵消,从而得 上式等号成立当且仅当, 即, 或者说. |
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