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FDU202306 给定以及上连续函数,证明:至多具有一个定义于上的连续函数满足对任意的,有 其中. 引理(Osgood唯一性条件) 设在区域满足 对任意的成立,其中是上的连续严格单增函数,且,若则在内的解唯一.证明 (证明有待商榷)注意到对任意的满足的,有 其中,取函数满足引理条件,且故由引理命题得证.FDU202307 分析上的实系统 其中 的所有奇点,并确定其类型,并画出奇点附近的大致相图,并与之对应的一次近似系统做比较. 引理1(Perron第一定理) 设非线性系统 其中满足 (i)在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数; (ii)当时,成立其中,则当点是对应一次近似系统的焦点,鞍点或结点时,点也是对应的非线性系统的相同类型的奇点. 引理2(Perron第二定理) 设非线性系统 其中满足 (i)在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数; (ii)当时,成立其中, 为任意小的正数.则当点是对应一次近似系统的临界奇点或退化奇点时,点也是对应的非线性系统的相同类型的奇点. 证明 系统在附近的一次近似系统为 故是该近似线性系统的临界结点.另一方面,作极坐标变换,系统化为 解得 其中且为任意常数,故此时有而故是该非线性系统的稳定的焦点,这不同于其近似线性系统奇点的类型.产生这一差别的症结是函数满足引理1却不满足引理2. |
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