【原】陪集分解应用举例

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1. 和 是群 的有限子群. 证明: .

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2. 设是群，是群的子集，且：,证明：.

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3. 设 是群, ，若都是有限的，证明：是有限的.

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. 设 是群, 证明:

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5. 设 是群, 且有限，证明：是有限的.

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(1). 引理1：设是一个群，,则：.

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2). 引理2：指数公式.

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(3).引理3：如果，那么：

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上述引理自己动手证明回顾.

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1. 记 , 则 是 的子群. 又由于 , 因此 也是 的子群. 设 在 中的左陪集分解式为 , 其中 事实上有

其中最后一步是由于 且 是子群,因此 对于 , 当 时,有 假如 , 则存在 , 使得 从而 于是 , 矛盾. 因此 从而

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2. 反证法：假设：,故有：.因为：,所以存在：,但是：

故有：

推出矛盾，所以假设不成立.

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3. 做出陪集分解：

注意到有如下事实：

所以对任意的,在关于的分解下必然有：因此对于任意的：

而由于：有限所以是有限的，特别的：.

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4. 上边一个题目已经证明了.

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5. 做出两个陪集分解：

注意到因为,所以：,而根据集合的运算关系：

又因为是有限的，所以同上两题也可以得到：是有限的.

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