微分几何专辑：微分流形与 Lie 群初步

本文我们介绍一类重要的微分流形 , 它们兼有微分流形的结构和群的结构并且二者相容.

定义1：设为群 , 群运算记为 . 如果 同时是 微分流形且 为 映射 , 则称 为 Lie 群.

当 为拓扑空间且群的乘法和逆运算为连续映射时 , 称 为拓扑群 . 如果没有特别说明 , 下面我们提到的 Lie 群都是指光滑 Lie 群 .

命题1：(i) 设 为 Lie 群 , , 则左移映射

和右移映射

均为微分同胚 ;

(ii) 乘积映射 的切映射满足以下关系

证明：(i) 固定 , 复合映射

为光滑映射 , 即左移 为光滑映射 . 显然 可逆 , 且逆映射为左移 , 即逆映射也是光滑的 , 从而左移映射为微分同胚 . 同理右移映射也是微分同胚 .

(ii) 注意到 . 由切映射的复合性质和线性可得

这表明如果 , 是经过单位元 的光滑曲线 , 则

其中 表示群的乘积 .

推论1：设 为 Lie 群 , 则其逆运算 也是光滑映射 .

证明：在 附近考虑方程 的解 , 由于 为恒同映射 , 特别地是非退化的 , 故由隐函数定理可知 , 在 附近上述方程的解 是光滑的 , 即逆运算 在单位元 的邻域内光滑 , 由于

故 是处处光滑的 .

注意对于拓扑群而言仅仅假设群的乘法运算的连续性是不能保证逆运算的连续性的 . 为了更好的理解什么是 Lie 群 , 则有下面的例子 .

例1：欧氏加群 .

看成实数加群 , 显然加法运算是光滑的 , 因此 为 Lie 群 . 同理 在加法运算下也都是 Lie 群 .

例2： 单位圆周乘法群 .

看成是复平面上的单位圆周 , 复数乘法在 上定义了群的运算 . 复数乘法运算在复平面上是光滑的 , 因而限制在正则子流形 上也是光滑的 , 即 在此运算下称为 Lie 群 . 同理非零复数全体 为复平面上的开集 , 在复数乘法运算下为 Lie 群 .

例3：Lie 群的乘积群 .

设 为 Lie 群 , 则乘积群 也是 Lie 群 . 特别地 维环面 为 Lie 群且是紧致的交换群 .

例4：一般线性群 .

记 , 而 为 中的开集 , 且矩阵的乘积运算的分量关于变量是多元多项式 , 因而是光滑的 . 这说明 为 Lie 群 . 类似地复 阶非退化方阵的全体 也是 Lie 群 .

例5：Heisenberg 群 .

考虑实三阶方阵全体 , 形如

显然 与 微分同胚 . 而矩阵的乘积运算也是光滑的 , 因此 为 Lie 群 .

例6：三维球面上 Lie 群结构 .

设

我们在 上定义群的运算如下(它来源于四元数) , 即令

在这个运算下单位元和逆元分别为

这些运算在 中显然是光滑的 , 从而限制在正则子流形 上也是光滑的 , 即 为 Lie 群 .

事实上我们还可以证明只有当 时 , 上才有相容的 Lie 群结构 .

下面我们研究 Lie 群之间的同态 .

定义2：设 为 Lie 群之间的群同态 , 如果 为光滑映射 , 则称 为 Lie 群同态 , 如果 Lie 群同态是群的同构 , 则称之为 Lie 群同构 .

我们先来看一个 Lie 群同态的例子 .

例7：行列式作为群同态 .

考虑群同态 , 在非零实数的全体 上定义群的运算为实数的乘法 , 显然 为 Lie 群同态 .

在我们讨论 Lie 群同态的性质前需要给出一个引理 .

引理1：Lie 群同态的秩为常数 .

证明：设 为Lie 群同态 , 我们要证明 . 事实上考虑左移映射 , 由于 为群同态 , 故有 , 于是有切映射的等式

注意到 和 均为同构 , 因此上式表明 .

下面我们讨论 Lie 群同态的性质 .

推论2：设 为 Lie 群同态 , 如果 , 那么当 非空时 , 它是 的正则子流形 , 其维数为 . 特别地 既是 的子群又是 的正则子流形 .

证明：直接利用常秩映射的定理即可 .

推论3：单的 Lie 群同态必为浸入映射 , 满的 Lie 群同态必为淹没映射 , Lie 群同构必为微分同胚 , 即其逆也是 Lie 群同构 .

证明：如果 为单的 Lie 群同态 , 那么有 , 由推论2可知

即 , 故 为浸入映射 . 如果 为满的 Lie群同态 , 则由 Sard 定理可知 , 存在使得 为正则子流形的 , 即 . 取 , 则 为满射 . 由引理1的证明过程可知 , 的切映射均为满射 , 即 为淹没映射 . 如果 为 Lie 群同构 , 则 的切映射均为同构 , 再由逆映射定理可知 , 其逆也是光滑的 .

定义3：设 为 Lie 群且满足 , 而 为包含映射 . 如果 为单的 Lie 群同态 , 则称 为 的 Lie 子群 , 进一步如果 为嵌入 , 则称 为 的闭 Lie 子群 .

从上面的推论3可知 , Lie 子群为(浸入)子流形 , 闭 Lie 子群为正则子流形 , 如果 为 Lie 群同态 , 则 为闭 Lie 子群 .

命题2：闭的 Lie 子群作为集合必为闭集 .

证明：设 为 的闭 Lie 子群 , 则 为正则子流形 , 从而存在 在 附近的局部坐标系 使得

取 的开邻域 使得 为紧集且满足 . 再利用群的运算的连续性 , 我们取 的开邻域 使得

设 且 , 我们要证明 . 事实上由于 为 的开邻域 , 故当 充分大时 . 于是固定一个这样的 , 则有

因此 . 根据 以及 的选取 , 很容易得到 , 从而 , 此时 为 的闭集 .

下面我们进一步研究切映射为满射的 Lie 群同态 . 我们需要下面这个关于拓扑群的引理 .

引理2：设 为连通的拓扑群 , 为单位元 的一个开邻域 , 则有 , 其中 .

有了上面的引理后就可以给出下面的命题 .

命题3：设 为 Lie 群同态 . 如果 连通且 为满射 , 则 为满同态 .

如果 Lie 群同态的切映射为同构 , 则它具有更多的性质 . 我们回忆一下覆叠空间和覆叠映射的概念 . 设 为拓扑空间 和 之间的连续映射 , 并且 , 存在 的开邻域 使得 , 其中 为 中互不相交的开集 , 且 均为同胚 , 则称 为覆叠映射 , 为 的覆叠空间 . 当 单连通(基本群为零)时 , 称 为万有覆叠空间 .

接下来看一个覆叠映射的例子 .

例8：从 到单位圆周 的覆叠映射 .

考虑 Lie 群同态

其中 , 指数映射 为覆叠映射 .

上面给出覆叠映射的定义后 , 我们就得到了下面的命题 .

命题4：设 为连通 Lie 群之间的 Lie 群同态 , 则 为覆叠映射当且仅当切映射 为同构 .

最后我们介绍 Lie 群在微分流形上的作用 .

定义4：设 为 Lie 群 , 为微分流形 . 如果光滑映射

满足以下条件

(i) ;

(ii) ,

则称 左光滑作用于 .

我们对上述定义作一些说明 .

(i) 如果 意味着 , 则称 在 上的作用是有效的 . 如果对 , 则称 在 上的作用是自由的 .

(ii) 对于固定的 , 记 , 则 为 的子群 , 称为 处的迷向子群 , 记 , 称 为经过 的轨道 . 如果任给 , 均存在 使得 , 则称 在 上的作用是可迁的 .

而对于固定的 , 映射 是微分同胚 . 记 为 的微分同胚全体在复合运算下组成的群 , 则 是从 到 的群同态 .

例9：Lie 群在自身上的作用 .

Lie 群 上的乘积运算 可以看成 Lie 群 作用在自身上 . 事实上下面的映射

也定义了一个光滑作用 , 称为 的伴随作用 .

为了继续讨论 Lie 群作用的例子 , 我们给出如下命题 .

命题5：设 Lie 群 光滑作用在微分流形上 , 则对任意 , 处的迷向子群 为 的闭 Lie 子群 .

例10：一般线性群在矩阵加群上的作用 .

考虑 在 上的作用 .

由命题5可知 , 对于任何固定的 , 迷向子群

为 的闭 Lie 子群 . 特别地当 时相应的迷向子群

为闭 Lie 子群 , 这是实的正交群 , 其维数为 , 其中 为如下映射

而 的秩是常数 , 那么我们只需在 处做计算即可 , 在 处 的切映射为

容易看出 , 因此

其中 是紧致的 , 且利用实正交矩阵的标准形不难证明它具有两个连通分支 , 即

其他的特殊情形有

(i)

相应的迷向子群为 , 称为辛群 , 这是维数为 的连通Lie群 .

(ii)

相应的迷向子群称为 Lorentz 群 .

完全类似地 , 把实数 换成复数 ,实矩阵换成复矩阵 , 我们可以得到许多其他 Lie 群的例子 .

例11：复一般线性群的作用 .

记 为 阶复方阵的全体 , 它可以和 等同 . 考虑如下作用

其中 表示矩阵 的共轭转置 . 于是对任何固定的 , 迷向子群

为闭 Lie 子群 .

特别地当 时迷向子群为酉群 , 即

它是紧致连通的维数为 的 Lie 群 , 特殊酉群 为它的闭 Lie 子群 .

参考文献：

Sigurdur Helgason . Differential Geometry , Lie Group and Symmetric Spaces . 

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