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我们已经通过几个最简单的群认识了群的一些基本性质，并熟习了群的一些基本运算，让我们用一个更高阶的群来巩固这些知识。我们曾经讨论过对一个平面正三角形的对称操作，结果发现，6 个对称操作构成 D₃ 群。一个自然的想法是，对一个平面正方形的对称操作是否也构成一个群呢？让我们仿照 D₃ 群来分析对一个正方形的对称转动。正方形有四个顶点，分别用1,2,3,4 标记，有五根能生成对称转动的转轴：一根转轴过正方形的几何中心并与图形所在的平面垂直，用 C 标记；两根转轴沿两条对角线，用 a 和 b 标记；还有两根转轴沿两对对边的中心连线，用 x 和 y 标记。四根沿正方形平面的转轴的放置方式是随意的，但是，一旦放置好，在转动过程中就必须固定不动；在初始状态下，四个顶点与两根对角线转轴的对应也是任意的。为了明确起见，假定四根平面转轴的放置方式如图所示，四个顶点的初始放置状态如第一图所示，把这个初始状态叫做 S。显然，绕中心轴(逆时针)转动 π/2 (C₄)、π (C₄²) 和 3π/2 (C₄³) 是对称的，把这三个转动分别记为c,d,f，把它们作用到 S 状态就得到cS、dS 和 fS 三种新的状态。容易看出，绕中心轴的这三个转动之间有 c²=d、c³=f 和 c⁴=e 这样的关系；绕 a,b,x,y 四根转轴的任意一根转动 π 也是对称的，把这四个转动分别用标记对应转轴的字母 a,b,x,y 表示，把它们作用到 S 状态就得到 aS、bS、xS 和 yS 四种新的状态。由于这四个转动中的任意一个连续做两次都会使正方形恢复到原来的状态，因此必有 a²=b²=x²=y²=e。以上是保持正方形不变的全部对称转动以及这些操作的部分乘法关系。利用作图的方法很容易得到其余的乘法关系，比如说，axS=cS，ydS=xS，这意味着五个转动操作 a,c,d,x,y 有 ax=c 和 yd=x 这样的乘法关系。由此得到对正方形的全部对称转动之间的乘法关系，结果发现，这些乘法关系是封闭的。因此，对正方形的全部对称转动构成一个群，称之为平面正四边形对称群。按照 D₃ 群的命名法，给平面正四边形对称群取名为 D₄ 群，相应的乘法表为：由于 D₄ 群有 8 个群元，因此，可能存在的子群的阶一定是 2 或者 4。根据上一节中讲到的寻找子群的规律，很容易就找到其中 5 个二阶子群：H₂={e,a}、H₃={e,b}、H₄={e,x}、H₅={e,y} 和 H₆={e,d}。考虑 H₂ 这个子群，容易验证，除了bH₂b=dH₂d=H₂，另外 4 个不属于 H₂ 的群元均有 gH₂g⁻¹=g⁻¹H₂g=H₃。因此，H₂ 和 H₃ 是两个相互共轭的子群。同样，H₄ 和 H₅ 也是两个相互共轭的子群。除此之外，从乘法表中很容易看出，还有一个四阶子群：H₁={e,c,d,f}。容易验证，H₁ 是 D₄ 群的不变子群。仔细观察发现，H₆ 这个子群有点特殊，它并不直接以 D₄ 群的子群出现，而是被包含在 D₄ 群的一个子群 H₁ 中，是 H₁ 的子群。看来，在群的世界中，也存在着爷孙关系，相对于 D₄ 群，H₆ 是属于孙字辈的。不过，在群论中没有“孙群”这个概念，大家都只是按照“子群的子群”这种方式来称呼它们。在研究 D₃ 群一节中提到，平面正三角形的对称转动与三个粒子的位置互换和三个数字的置换是一一对应的，这导致 D₃ 群与 S₃ 群同构。一个自然的想法是：D₄ 群也应该与四个数字的置换群 S₄ 有某种结构上的关联，这种关联是不是同构呢？显然不是！我们知道，四个数字有 4!=24 种置换方式，因此，S₄ 群有 24 个群元。然而，D₄ 群却只有 8 个群元，它不可能与 S₄ 群同构。稍后我们就会知道，D₄ 群与 S₄ 群确实存在结构上的关联，它是 S₄ 群的一个子群。
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