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题目来源： 2022西工大附中四模填空压轴题。 原题：  如图，RtΔACB中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=9，正ΔDEF的顶点D、E、F分别在BC、AB、AC上，若CD=8，求ΔDEF的周长。 解析： 点D为定点，点E、点F为动点，且DE/DF=1为定值，DE、DF夹角60°也为定值，构成瓜豆模型。 两动点E、F联动。  如果把点E当作主动点，则其运动轨迹为AB，从动点F随主动点E运动，当点F运动至恰好落在AC上时，即为题设之图形。  我们也可把点F当作主动点，则其运动轨迹为AC，从动点E随主动点F运动，当点E运动至恰好落在AB上时，也形成题设之图形。 以上两动图展示了瓜豆线生线之基本特征：主动点、从动点与定点连线的夹角多少，则主动点、从动点轨迹夹角多少。 此特征可以这样理解：主动点带动主动点轨迹整体旋转，得到从动点和从动点轨迹之整体，主从整体图形的形状相同，图形内对应部分的夹角也相同，主从动点与定点连线的夹角与主从动点轨迹的夹角也相同。  以点E为主动点时，DE顺时针旋转60°得到DF， 将主动点E轨迹BA绕特定点顺时针旋转60°可得到从动点F的轨迹。  以点F为主动点时，DF逆时针旋转60°得到DE， 将主动点F轨迹AC绕特定点逆时针旋转60°可得到从动点E的轨迹。 比较以上两种情况，以点F为主动点，点E为从动点时，点E轨迹可视为AC逆时针旋转60°所得，则此轨迹与BC平行，此情况下更易解题。  以DC为底边，向上作正ΔDCG，因为∠C=60°，所以点G在AC上， 正三角形DCG内，DC=DG，且DC、DG夹角60°， DC、DG的位置关系与DF、DE的位置关系相同， 可以理解为：当点F运动至点C的位置时，点E运动至点G的位置。 以下利用手拉手思路解题： ΔDCG、ΔDFE手拉手相似，  得到ΔDGE∼ΔDCF，  当点E落在AB上时，仍然有ΔDGE∼ΔDCF，  ΔDGE内，∠DGE=∠C=60°，DG=DC=8， EG=2AG=2×(AC-CG)=2（RtΔAEG为含60°角的特殊直角三角形）， 解此三角形得到DE，题求即得。 具体书写如下： 解：在CA上截取CG=CD，因为CG=CD，∠C=60°，所以ΔDCG为正三角形，所以DG=DC；因为DG=DC，DE=DF，∠EDG=∠FDC=60°-∠GDF，所以ΔDGE≅ΔDCF，所以∠EGD=∠C=60°，所以∠EGC=∠DGD+∠DGC=60°+60°=120°；因为∠EGC+∠C=120°+60°=180°，所以EG//BC，所以∠AGE=∠C=60°；RtΔAEG内，AG=AC-CG=1，EG=1/cos60°=2；  过点D作DH⊥直线EG交于点H，过G作GM⊥BC交于点M， 因为EG//BC，DH⊥EG，GM⊥BC，所以四边形DHGM为矩形， 所以GH=DM=1/2CD=4，DH=GM=√3DM=4√3; RtΔDHE内，DH=4√3，EH=GH-EG=2，据勾股定理可得DE=2√13 ， 所以所求ΔDEF的周长=3DE=6√13 。 若解此三角形的过程不易理解，可设想点F运动至与点G重合时的图形，  当点F运动至点G所在位置时，点E运动至直线EG上的点N，ΔDGN仍为正三角形， 此正三角形边长DG=DC=8，E在边NG上，EG=2， 欲求DE，过D作对边垂线，利用勾股定理求解是常规思路，顺理成章。 |
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