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古希腊时期，哲学家泰勒斯开启了对数学命题进行证明的思想，毕达哥拉斯学派将之发扬光大。欧几里得的《几何原本》总结了前人的几何知识和研究成果，用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，标志着几何知识从零散、片断的经验形态转变为完整的逻辑体系，深刻影响到后世数学的发展，采用的演绎结构被移植到其它学科后也同样促进了这些学科的发展，但因受时代限制而存在部分证明有遗漏和错误、基础部分不够严密等明显的不足。
上面第一张图片与数学家泰勒斯的雕像一样，它们都是没有雕刻眼睛，这是希腊古典雕塑的特点，从这一点在艺术层面上，我们可以通过雕像的眼睛来判断某个雕像的大概年代。但是在数学上是不可行，只要存在一丝丝的瑕疵，数学命题都是不成立的。很有可能后世有个雕塑家也不喜欢雕刻眼睛。
《几何原本》在几千年间是逻辑演绎证明的典范。在明朝才通过意大利传教士利玛窦和徐光启对其前6卷的翻译进入中国。徐光启曾说过：“能精此书者，无一事不可精；好此书者，无一事不可学。”爱因斯坦说的更加直接：“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家。”
在介绍证明之前，我们需要知道两个重要的名词：定义和命题。
命题的特点就是可以判断真假的陈述句，比如“等角的余角相等”就是命题，而“同位角相等吗？”是一个疑问句，就不属于命题范畴。经过证明的真命题可以被称为“定理”，确定某个命题真实性的过程叫做“证明”。泰勒斯是历史证明第一人，他最为著名的泰勒斯定理说的是由圆的直径与圆上任一点构成的三角形是直角三角形。这个命题的条件是由圆的直径与圆上任一点构成的三角形，结论是这个三角形是直角三角形。这个命题的证明过程也非常的简单：
证明的方法有很多，比如直接法、归纳法、反证法、逆否法。 直接证明也称为逻辑演绎，是指从公认的事实或者公理出发，运用逻辑推演而导出需要证明的命题的方法。 直接法—综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止。
直接法-分析法 从问题的结论处罚，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止。（或逆向推出一个明显成立的式子）
归纳法 高斯小时候曾经非常快地算出1到100所有整数的和等于5050，他的方法非常的简单：
现在我们直到这个数列的求和公式为S=n（n+1）/2。现在我们尝试用归纳法证明这种数列的求和公式。
反证法 亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。《几何原本》中欧几里得素数无限定理的证明就是反证法的案例，这个证明方法被誉为数学史上最美的证明之一。
逆否法 逆否法是进行命题转换的最重要的方法，其依据是命题与逆否命题的同一性，即命题正确则逆否命题必正确，命题错误则逆否命题必错误。其关系可以从下图看出：
数学是逻辑性、严密性最强的学科，是其他学科的基础。而证明是体现逻辑性、严密性的重要部分，可以说证明是整个数学中最漂亮的一部分。 |
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