从导数到积分：微积分基本定理之旅

今天我们要讨论一个许多人都害怕的主题。我说的是微积分。虽然一开始听到导数和积分可能有点令人震惊，但事实是，当你理解它时，它简直太神奇了。如果您不熟悉微积分或数学，请不要担心，我们将以概念的方式进行解释。

让我们开始考虑一个圆。我们了解到圆的面积是使用公式2 * PI * r计算的，其中r是圆的半径。但这是从哪里来的呢？让我们把我们的圈子分成许多环，像这样：

为此，我们将环的厚度称为dr。我们可以把环想象成盘绕的线。如果我们展开它，我们会看到图形类似于一个矩形，所以我们将这个环近似为一个矩形。也就是说，我们的厚度将是矩形高度，而2 * PI * r（cirfumfere 的公式）是矩形宽度。所以我们矩形近似的面积是2 * PI * r * dr。但是随着dr变得越来越小（这意味着当我们将圆切成越来越小的环时），近似值将变得越来越错误。

请注意，我们将圆划分为许多环，因此可以得出圆的面积是所有环的面积之和的结论是合乎逻辑的。一种可视化的方法是绘制从 0 到 r 的图形，其中的列代表我们的环。

如果我们为dr选择越来越小的值，我们的矩形面积就会越来越接近图表下的精确面积。图下部分是一个三角形，底为1，高为2 * PI * 1 。所以面积，即(base * height) / 2 是 PI *1² 。或者，如果我们原来的圆的半径是其他值 R，面积 = 1/2 * R * 2 * PI * R = PI * R²

积分

假设我们有以下函数 f(t) = t³ 的图形：

f(t) = t³ 的图表

现在，我们将左端点设置在原点 (0)，但我们认为右端点（我们称之为 x）会发生变化。当我们考虑端点 x 的变化时，我们如何描述 f(t) 图下的面积？

我们通过以下方式进行：

在数学中，积分是一个概念，用于计算曲线下的面积或函数在一个区间内的总累加值。考虑一个线性函数，例如f(x) = 2。此函数以图形方式表示如下：

f(x) = 2

要计算我们函数下的面积，我们只需计算该区间上函数的高度和区间本身的宽度所形成的矩形的面积。

但是，我们可能会处理更复杂的函数，例如多项式。想象一个像下面这样的函数：

多项式函数图 多项式函数图

在那种情况下，不可能像我们以前那样使用简单的几何来计算面积。相反，我们使用积分来近似曲线下的面积。积分涉及将曲线下的区域划分为无数个宽度无限小的小矩形，然后将所有矩形的面积相加。结果大约是曲线下的总面积，就像我们使用圆环表示的那样。这是整合理论的基础。

导数

导数通常被定义为“瞬时变化率”，但请仔细考虑一下这个定义。只有当我们衡量不同的时间点时，事情才会改变。想一想一辆行驶中的汽车：如果我告诉你我们的汽车以每小时 60 公里的速度行驶，并问我们的汽车在瞬间i 的速度是多少，会怎样？

你无法测量汽车在某一瞬间的速度，因为我们没有单独的时间点，所以没有改变的余地。速度本身就是在给定时间内行进的距离，所以这是一个悖论。但是我们有速度计对吗？当你开车时，汽车会在给定时刻显示你的速度……或者这就是它看起来正在发生的事情。实际上，汽车系统在非常短的时间内计算速度。

这意味着如果我们选择少量的时间dt，我们可以计算运行中的上升：

这里提出的想法几乎就是导数。虽然汽车会选择像 0.001 秒这样的小数值来计算速度，但在数学上，导数并不是特定选择dt的这个比率。当dt 的选择接近 0 时，它是该比率接近的任何值。

考虑ds/dt 的另一种方法是通过图中两点的线的斜率。导数等于在单个点处与图形相切的直线的斜率。

A点上的切线

例如，让我们考虑一个线性函数，例如f(x) = 2x + 2 。了解了导数的概念，我们可以很容易地计算函数的导数。此函数的图形如下所示：

f(x) = 2x + 2 的图形

x的值无关紧要，直线的斜率始终为 2（因为在形式为f(x) = ax + b的线性方程中，a 表示决定直线斜率的线性系数。在我们的案例，它是一个）。常数值的导数，比如我们的b是0，因为常数值没有变化。也就是说，线性函数的导数是它的线性系数a。在我们的例子中，请注意，每当我们将 X 增加 1 个单位时，函数的值就会增加 2 个单位，因此变化率始终相同。

有很多技术可以计算其他类型函数的导数，例如幂、指数、对数等。我不会在本文中介绍这些内容，因为它主要是概念性的。

导数的正式定义是，y相对于x的导数定义为随着x0和x1之间的距离越来越小， y的变化超过x的变化。[来源]

这是导数的数学定义，它是 f(x) 图形在该点的切线的斜率，它衡量 f(x) 的值随着 x 的微小变化而变化的速度。

微积分基本定理

我们已经完成了本文中的所有内容，现在是时候将它们拼接在一起并理解曲线斜率与其下方面积之间的关系，即微积分基本定理。它指出积分（integrals）和微分（derivatives）是彼此的逆运算。

它指出对于函数f，可以将反导数作为f在具有可变上限的区间上的积分来获得。

快速定义：函数f的反导数（也称为不定积分）是一个可微函数F，其导数等于原函数f。（F' = f）。

基本上，如果函数f(x)在区间I上是连续的，并且如果F(x)是f(x)在该区间I上的任何反导数，则f(x)的不定积分是F(x) + 积分持续的。换句话说，积分取消微分并将原始函数恢复到任意常数。这就是说它们是彼此的逆运算。

该定理还指出， f在固定区间内的积分等于区间两端之间任何反导数F的变化。它简化了定积分的计算。

简直太神奇了。