【原】高斯定律

通过一个任意的闭合曲面的电通量，只与闭合曲面所包围的总电量有关。

在讨论通过一个闭合曲面的电通量时，我们解决了如何沿闭合曲面积分的问题。大家发现，我们并没有真正实施数学上的积分运算，而是通过物理上的讨论，利用电场线的性质得出了：当闭合曲面不包含任何带电体时，通过该闭合曲面的电通量等于零。

接下来我们考虑一个相当重要的例子，在由一个点电荷激发的电场中，以点电荷为中心作一个半径为 的球面，我们想要知道通过这个球面的电通量。

根据闭合曲面电通量的计算原则，写下计算电通量的积分表达式：

为了求出这个积分，我们注意到积分是沿着半径为 的球面实施的。在这个球面上，电场强度的数值是一个常数：

在球面上的每一点处，电场强度的方向均沿着该点的径向 。另一方面，在一个球面上，每一点处的外法向矢量也沿着这个方向：。把这些结果代入上述计算表达式中，将所有与积分无关的常数提到积分号外，就得到如下积分表达式：

我们看到，积分号内只剩下对球面的表面积做积分。不需要做更细致的推导了，这个积分正是半径为 的球面的总面积 。于是，通过球面的电通量为：

结果发现，通过一个以点电荷为中心的球面的电通量与球面的半径无关。回顾用喷水器做比拟引入电通量概念那一节，我们看到了熟悉的东西：单位时间内流出任意一个球面的水量 与球面的半径无关。

对一个球心偏离点电荷的球面 ，只要点电荷还处于球面内，就可以以点电荷为中心，作一个更大的球面 ，把偏心球面包围起来。根据电场线的性质，通过偏心球面的电通量等于通过正心球面的电通量。这个方法不仅对偏心球面有效，对包围点电荷的任意一个闭合曲面 也有效：

把一个点电荷的结论进一步推广，当一个闭合曲面内包含有多个点电荷时，利用场强叠加原理得到：

其中 是单个点电荷激发的电场，最后一个等号利用了单个点电荷对电通量的贡献。

结合闭合曲面内不含带电体的情况，结果发现，通过一个任意的闭合曲面的电通量，只与闭合曲面所包围的总电量有关：

这个结论被称为高斯定律。

关于高斯定律这个名称，有必要做一些特别的说明。在一般的教科书中，这条自然规律被称为 “高斯定理”。在物理学中，自然规律可以分为不同层次的规律。凡是通过实验确定下来、属于那种不可能通过数学方法从理论上加以证明的规律，我们称之为物理定律，比如说牛顿运动定律和库仑定律就属于这个层次的自然规律；以物理定律为基础，在一定的假设条件下，可以通过数学推导加以论证得出的规律被称为定理。显然，由定理和定律之间的关系可以得知，定理的适用范围要比定律狭窄。在电磁理论发展的初期，人们正是如上所述，在库仑定律的基础上，通过数学推理论证的方法得到高斯定理的，因此，高斯定理是静电力的平方反比律和叠加原理的直接推论，把它称为 “定理” 就再贴切不过了。

不过，后来的发展显示，这条所谓的 “高斯定理” 是比库仑定律更加普遍、更加深刻的自然规律，是一条反映电场性质的普遍规律。对于运动电荷，库仑定律不再成立，高斯定理仍然有效；库仑定律只描写了静电场的基本性质，而高斯定理甚至能够描写随时间发生改变的电场。这样一条适用范围如此之广的自然规律，再把它叫做 “定理”，已经不合适了。因此，让我们今后就把它叫做高斯定律吧，同时还要记住，在一般的教科书中，这条自然规律仍然一直被称为 “高斯定理”。