《算术与几何的妙趣》算术的新时代？

比如，让我们来证明第二数的无穷性：只需证明红色标记方法每一次至少会在最大的蓝色数字之后留下两个黑色数字，就能保证筛法在 B 步骤过程中永远不会受阻。这是显而易见的，因为质数只能被标记成蓝色：标红的数字是其他数字的倍数，因此不可能是质数。在计算过程中的任意时刻，只有有限个数字被标记为蓝色，也就是说，还有无穷个黑色质数，即最后一个蓝色数字之后还有无穷个黑色数字，当然就满足了最少有两个黑色数字的条件。所以，标记过程永远不会结束，第二数有无穷多个。

我们对质数的认识远远不止其无穷性。比如阿达玛和德·拉瓦莱普森在 1896 年证明的素数定理指出：n 附近的质数密度约为 1/ln(n)。由于 ln(10⁹) 等于 20.7232…，我们可以推导出在十亿附近，大约 21 个数字里就有一个是质数。

该定理能否推广至第二数、第三数等？以怎样的形式推广？数学家凭借现有的理论能否轻而易举地处理这个问题？这给数论专家，以及那些想抢先找出相关特性准确描述的专业或业余冒险家提出了挑战。我们的老朋友计算机当然也可能在这项研究工作中发挥作用。

这些新的数字也引出了众多其他问题，下面就是几个例子。

• 既是质数又是第二数的数字是否有很多？怎么能够找出来？

• 对既是第二数又是第三数，或者同时是质数、第二数、第三数等等的数字也有同样的问题。

• 第二数（或第三数等）因数分解的概念是否有意义？如果是，这样的分解有何特性？

• 任意足够大的偶数是否为两个第二数之和（对哥德巴赫猜想的推广）？奇数又如何？

• 是否存在多项式时间“第二性”检测算法（对 Agrawal-Kayal-Saxena 算法在 2002 年证明的多项式时间素数检测算法存在定理的推广）？

长期以来，艾力克·安吉利尼一直对自身参照颇感兴趣（参见其网站 http://www./）4，并提出了另一类全新数列——奇特而极具魅力的“十一抽取数列”。

4该网址的字面意思是：“这个网址包含五十个字符”。——译者注

或许有人听说过“十一抽杀律”。古罗马将军马库斯·李锡尼·克拉苏发明了这一骇人听闻的酷律来惩罚逃兵，最终在罗马军队中引发了众怒。数列的十一抽取操作就是从数列中每十项中抽取一项，就像克拉苏从十人一组的士兵中抽选一人处死。从数列 s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇, s₈, s₉, s₁₀, s₁₁, s₁₂, s₁₃, s₁₄, s₁₅, s₁₆, s₁₇, s₁₈, s₁₉, s₂₀, s₂₁, s₂₂, …中，每十项抽取一项，即 s₁₀, s₂₀, s₃₀，得到：s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇, s₈, s₉, s₁₁, s₁₂, s₁₃, s₁₄, s₁₅, s₁₆, s₁₇, s₁₈, s₁₉, s₂₁, s₂₂, …

按照定义，十一抽取数列 S 是一个“非常数数列”，十一抽取操作后留下的数列和初始数列相同，另外抽取的数列（s₁₀, s₂₀, s₃₀ , …）也与初始数列相同。若将数列 S 每十项取一项得到的数列记为 S/10，S 所受到的约束就可以用符号写为下面的双重等式：S=S/10=S-S/10。

这是很强的条件，乍一看似乎不大可能存在这样的数列。然而，十一抽取数列的确存在，艾力克·安吉利尼提出了一种一般构造方法，也是一种可以将其全部找出的方法（参见“十一抽取数列”）。

我们来检验这种独特的十一抽取数列之一 S：

3. 十一抽取数列

十一抽取数列如下（参见书页底部展示的数列I、II、III）：

(a)若从数列中每十项抽取一项（第10项、第20项、第30项等），我们抽掉的就是数列(III)，它与数列(I)相同；并且

(b)抽掉那些项之后剩下的数列(II)，也与初始数列相同。

让我们来构造一个数列(I)，比如先确定前9个数字：1 2 3 4 5 6 7 8 9。

第10项必须为1，因为按照(a)，它是被抽取的数列之首，必须与原数列本身相同：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1。

第11项为1，因为按照(b)，当我们抽掉第10项时应该得到相同的数列，而抽掉第10项后，第11项就取代了第10项的位置。所以有：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1。

一步一步地，类似推理让我们不得不在第12、13、14、15、16、17、18、19项的位置放置1：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1。

第20项按照(a)必须为2：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2。

第21项按照(b)必须为1，第22项为2，依次类推：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3…

就这样一步一步地，这个数列完全由前9项确定下来。

下面是该数列的前1000项：

取每一组十个数字的最后一个（红色），便重新得到原本的数列，另外，将其去掉后剩下的数列也是原本的数列。

由 S 中每十项抽取一项得出的蓝色数列与 S 相同，若将其去掉，剩下的数列也与 S 相同。

我们通过仔细审视定义中的规则，得知完全不同的十一抽取数列的数目是有限的，因为规则指明了数列完全由其中的前 9 项决定。

这样的数列比其他任何数列都配得上分形数列这个称谓。实际上，十一抽取数列以双重方式包含在其自身当中：整体的复杂结构 S 两次由 S 构成，即一次以 1/10 尺寸的缩小形式，而另一次以 9/10 尺寸的缩小形式。

我们还可以将这样的数列称为“蜥蜴数列”，因为当它的尾巴（相当于本身的十分之一）被拽掉时，数列并没有真正产生变化，就和蜥蜴一样，尾巴还会再长出来。

十一抽取序列最奇特的地方就是，尽管我们有简单的定义和有效的计算方法，这个数列似乎仍无法预测，其整体特性似乎也很难确定，例如数字 1 的密度。（让·保罗·德拉耶）