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之前古希腊时期的数学家，我写了毕达哥拉斯、芝诺、欧几里得，有想了解的朋友可以查看往期文章👇🏻 除了上边这几位，在古希腊历史上，还有一位数学天才，天才到自信地说"给我一个支点，我可以撬起整个地球"，如果要在世界上选出三大数学家，就一定有他的名字——阿基米德。  自从阿基米德原著的羊皮卷手抄稿被发现与还原后，人类运用微积分这种数学工具的时间被认为提前了1800年。那么阿基米德原著的手抄稿里到底写了什么，让后世觉得这就是一种对微积分思维的应用呢？微积分到底是一种什么样的工具或思维方式？ 阿基米德原著的手抄稿 在羊皮卷手抄稿里，人们发现了一篇阿基米德失传的著作《方法论》，在《方法论》里阿基米德利用杠杆原理结合"穷竭法"（也叫"穷举法"）计算出了球的体积。所谓”穷竭法“就是一种"以极限逼近求图形面积的方法"，当然这是后世对穷竭法的解读，毕竟"极限"的定义比微积分出来的时间还要更晚。  但"穷竭法"也并非阿基米德首创，早在公元前5世纪，一个叫拉姆诺斯安提丰的希腊人就已经在用穷竭法了，而后古希腊数学家欧多克索斯又进行了改进，比阿基米德早出生38年的欧几里得也在他的《几何原本》中使用穷竭法证明了若干命题。同样都是应用"穷竭法"，怎么到了阿基米德应用穷竭法的时候，就是一种对微积分思维的应用，而欧多克索斯、欧几里得就不是呢？ 为了搞清楚这个问题，本来不想深读《几何原本》的我还是把欧几里得应用穷竭法证明的命题的推理过程和阿基米德应用穷竭法计算球体积的思考过程做了个对比，从中我们能窥见微积分思维的演化过程。 欧几里得对穷竭法的应用 先来看看欧几里得在《几何原本》里是如何应用"穷竭法"来解决问题的。在《几何原本》里有这样一个命题： 圆与圆之比如同其直径上的正方形之比  那时候还没有圆的面积公式，所以欧几里得证明这个命题的过程是有些繁复冗长的，他的主要思路是利用反证法，他先引入一个面积S，预设以圆A和圆E的直径做的正方形之比，等于圆A和S之比，他先假设S小于圆E，然后再证明有矛盾，再假设S大于圆E，再证明这也是有矛盾的，最后证明S只能等于圆E，由此得出结论：圆之比就等于其直径上的正方形之比。  为了证明S不可能大于或小于圆E，他就应用到了穷竭法。他取EF、FG、GH、HE圆弧上的中点，由此可以做出圆E的内接多边形，再取中点的中点然后连线，由此做出的内接多边形的面积（以下简称为多E）可以不断趋近于圆E的面积但始终小于圆E。  圆E和它的内接多边形的面积之差——即他们围起来的弓形的面积（下图灰色部分）会逐渐变小，假设S＜圆E，那么（圆E - 多E）的差最终会小于（圆E - S）的差，也就是说圆E的内接多边形——多E的面积大于S。  而两个圆的内接多边形之比就等于两个圆的内接正方形之比（此处的证明过程就不展开了，主要是通过K点切线做外接长方形），也就等于之前预设的圆A和S之比，变换一下就是多边形A和圆A之比，就等于多边形E和S之比，然而多边形A是小于圆A的，而多边形E却大于S，所以就矛盾了，因此S不可能小于圆E。欧几里得又用差不太多的方法证明了S不可能大于圆E，最后得出推论。  欧几里得应用的穷竭法在于他知道把圆弧这样无限取中点做连线得到的内接多边形的面积可以不断趋近于圆而小于圆。可以说，欧几里得在当时已经有了"极限"的思维，但他到了"极限"这一步又转头去用他已经烂熟于心的反证法去了，他绕开了推导圆的面积公式这一难题，因此"极限"思维更进一步的发展也就止于此了，但这种"无限逼近"、"极限"的思维正是微积分思想演化的开端。 那阿基米德又是怎样把穷竭法应用到了微积分的思维水准的呢？ 阿基米德的「微积分思维」 阿基米德的厉害之处在于，他不仅是一个数学家，他还是一个实证科学家、物理学家。比如他提出的阿基米德原理，也可以称之为浮力定律——全部或者部分浸在水中的物体受到的向上的浮力等于物体排开的水的重量。这样他就可以比较一些不规则物体的体积。 他还推导出了杠杆原理，可以用来解决当时很多的工程问题。  阿基米德就应用杠杆原理和穷竭法计算出了球的体积。他先设计了一个杠杆系统，在杠杆的左边挂着一个圆锥体和一个球体，右边挂着一个圆柱体。  圆锥体和圆柱体的底的半径和高都是2r，球体的半径为r，杠杆的长度为4r，如果左右两边是平衡的，那么 M1·L1=M2·L2 也正是由于阿基米德在研究浮力定律的时候有了密度的概念，所以他假设这三个物体的密度相同，那么上面的等式就可以用体积代替： V锥· L1 + V球· L1 = V柱 · L2 然后他就用到了穷竭法来证明杠杆的左右两端是平衡的。他分别在三个物体的x处做切片，设切片的厚度为Δx，你可以想象这个切片就是纸片那么厚，那么每个物体上的切片的体积可以近似等于一个很扁很扁的圆柱体。 圆柱体的体积=底面积 × 高 前面我们知道，欧几里得并不会求解圆的面积，但是从欧几里得上面的推论中不难再进一步推导出圆周率是个定值。到了阿基米德这儿，他不仅知道圆周率是个定值，还提出圆的面积等于"以圆周长和圆半径长为直角边的直角三角形面积"，即圆的面积=rC/2，也就是说他知道圆的面积怎么算，虽然和我们现在的πr²不一样，但为了方便理解以下计算过程圆的面积仍用πr²。 左边切片的体积=圆锥体切片的体积+球体切片的体积 πx²Δx + π（r²-（x-r）²）Δx = 2πxrΔx 右边圆柱体切片的体积就是：4πr²Δx 左右两边的体积再乘以各自的力臂，得证左右两边的力矩是相等的。 4πr²Δx · x= 2πxrΔx · 2r 也就是说，无论x在0到2r这个区间取值多少，杠杆左右两边的切片总是平衡的。 再根据之前推导出的体积的力矩等式，就能得出球的体积 V球 =1/2V柱-V锥 V球=1/2 · π(2r)³ - 1/3 π(2r)³=4/3πr³ 在上面的推导过程中，阿基米德应用穷竭法的方式是将三个物体"切片"，以一种"近似"的方式来求解"切片"的体积，已经涉及到了微分，而切片要从0加到2r，这就又涉及到了积分。可以说，阿基米德对微积分的理解并不逊于牛顿和莱布尼茨，而那时候还是公元前3世纪。 虽然和欧几里得仅相差几十年，但可以看到，阿基米德手里可用的数学工具要比欧几里得多很多，这得益于他对解决各种数学、物理问题的狂热。而且他的研究领域的广度要远超欧几里得的平面几何学。 微积分思维的演化 那微积分到底是一种什么样的思维工具呢？从上面的例子我们看到，人们先是有了穷竭法这种"无限逼近"的思想，发展到了阿基米德这儿，他把一个整体进行"无限切割"变成了一个个"无穷小"，这样就可以让原本无从下手的问题化繁为简，这种从宏观到微观的过程就是微分的思想；再把"无穷小"累积后还原为整体，从微观再到宏观，这就是积分的思想。 不过历史并不像微积分一样是线性变化的。阿基米德的羊皮卷手抄本几经波折直到2005年被送到斯坦福的同步辐射实验室，里面的内容才得以还原。而我们公认的微积分工具直到公元17世纪才出现。如果这本羊皮卷书可以在公元前3世纪后广为流传，也许就不会有17世纪牛顿和莱布尼茨的微积分发明之争了，也许人类的科技发展可以提早一大步。遗憾的是，历史从来没有如果。 |
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