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高考数学导数大题专题2。
判断一个复杂方程是否有解，通常转化为方程对应的函数是否有零点。函数g(x)的零点就是原方程f′(x)＝0的解，所以本问就转化为判断函数g(x)在(1, a)上是否有零点。使用导数的知识判断函数在开区间上的零点，一般分三步。第一步：求出函数的单调区间。
第二步：求出每一个单调区间的两个端点处的函数值的符号。第三步：若两个符号相反，则函数在这个单调区间上有一个零点，若两个符号同正或同负，则函数在这个单调区间上没有零点。 g(a)的表达式比较复杂，直接观察得不出它的符号，这种情况一般使用构建函数的方法来求它的符号。
第（2）问。证明零点和判断零点的过程基本是相同的，所以要证明函数f(x)只有一个零点，第一步还是求f(x)的单调区间。因为g(x)的符号和导函数f′(x)的符号是相同的，所以本题是通过判断g(x)的符号间接地判断f′(x)的符号。
接下来分别判断f(x)在两个单调区间上有没有零点。先判断区间（1，m）。
因为要证的是f(x)在(1,＋∞)上有且只有一个零点。现在证得了在(1,m)上没有零点，f(m)又不等于0，那么f(x)在(m,＋∞)上必须有一个零点。所以接下来要证明f(x)在(m,＋∞)上，有且只有一个零点。f(m)的符号是正，(m,＋∞)的右端点是正无穷，正无穷不是一个具体的值，所以无法求出它对应的函数值，这种情况下，一般使用特殊值的方法来间接证明。即，要证明f(x)在(m,＋∞)上有一个零点，只需要在(m,＋∞)内找一个特殊值，使这个特殊值对应的函数值的符号，和f(m)的符号相反，即是负数就可以了。
专题会根据高考形势的变化不断增加和更新。加油！ |
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