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TJ202201 求下列极限: (1) ; (2) ,其中是常数,\ 是正整数. 解 (1)令,计算可知 (2)注意到,计算可知 TJ202202 证明: 在上不一致连续,在上一致连续. 证明 取,对任意的,取,有且,但 故在上不一致连续.又对任意的,存在,当且时,有 故在上一致连续.TJ202203 证明反常积分收敛,并求值,其中是非零常数. 解 令,则原式化为 下面证明 令,则可得 则TJ202204 求曲面积分其中是被所截的部分. 解 注意到曲面关于两个坐标平面对称,在对称点上被积函数大小相等,符号相同,因此积分等于在第一卦限里的部分上积分的倍.将向平面投影,消去可知这是平面夹在 之间的部分,由于的方程为,故故TJ202205 已知在上二阶连续可导, 证明:存在,使得.证明 不妨设,则由极限的保号性可知存在以及,使得在上述两邻域内分别成立 故存在和,使得由零点存在定理,存在,使得.由Rolle中值定理可知存在,使得,同理存在,使得,再使用一次Rolle中值定理可知存在,使得.TJ202206 (1)证明函数项级数在上收敛但不一致收敛; (2)求(1)中函数项级数的和函数; (3)求的值. 解 (1)注意到对任意的,有,由Weierstrass判别法可知在上收敛,又,故不一致收敛. (2)注意到对任意的,有 类似于(1)的证明可知函数项级数在上一致收敛,其中,故由逐项求导定理可知(3)在(2)中代入,可知 TJ202207 已知是定义在上的三阶可导函数,其中,定义 证明: 在处三阶可导,并求.解 由球坐标变换,有 进一步计算可知 TJ202208 求积分的值. 解 设 令,计算可知,故又,故当时,有令,则由夹逼准则可知.当时,有综上所述,有 TJ202209 已知是一实数列, ,证明: 的充分必要条件是 证明 必要性是显然的,下证明充分性. 设,则有 即,而,故,即故,即.TJ202210 证明级数收敛并求其值. 证明 注意到 而级数与反常积分的敛散性相同,而该反常积分与的敛散性相同,故原级数收敛,记,有而,故 |
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