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TJ202001 设函数在上连续, ,求 解 由等价无穷小与L.Hospital法则知 TJ202002 用任一实数完备性理论证明闭区间上连续函数有界性定理. 证明 不妨考虑利用闭区间套定理反证,若无界,则将分成两个小区间 则至少在其中之一无上界,记为;再将闭区间分成两个小区间则至少在其中之一无上界,记为;以此类推可得一列区间,存在,且,又在处连续,于是存在使得当时,有,于是对充分大的,总能使得在上有界,矛盾,命题得证.TJ202003 已知在上一致连续,对每个固定的都有,证明:在时,函数列在上一致收敛于0. 证明 由于在上一致连续,故对任意的,都存在,使得对任意的,有,记,存在,使得时有,不妨限定,此时存在,使得,故 TJ202004 确定实数的范围,使平面上的无界区域 绕轴旋转一周所得旋转体体积有限,但表面积无限,并试求旋转体体积. 解 由题意知,该广义积分收敛表明即,又 由于,故该广义积分发散表明,综上可得,旋转体体积为. TJ202005 曲面围成的有限区域为,其中,记在点处切平面为,计算积分,其中代表动点到平面距离的平方. 解 写出 处的切平面方程为 即有 其中分别令 ,并利用对称性消去交叉项,进一步得到TJ202006 设函数在上两阶可微, , ,证明: (1)对任何整数,存在唯一的,使,其中; (2)证明数列收敛且. 证明 (1)由严格上凸函数定义知,且在上有最大值,故由Rolle中值定理知存在,使得,由Darboux定理知,于是存在唯一的,使得. (2)由于连续且严格单调递减,故存在连续反函数,故 于是,而有唯一零点,故.} TJ202007 设 求幂级数收敛域与和函数.解 由累加法知 从而有,故该幂级数的收敛半径为1,而当时,级数发散,故该幂级数收敛域为,进一步设,于是 于是.TJ202008 说明方程可以确定唯一的具有连续偏导数,并且定义在全平面上的隐函数,求的极值. 证明 任取,设,有,且,,故存在唯一的使得,故确定了唯一的隐函数.进一步对题中等式左右两边分别对和求偏导数,得到 整理并化简得到于是的极值点为,此时根据非条件极值判别条件知知在处取最大值. TJ202009 指出函数的定义域,并用初等函数表示. 解 先说明在 上关于一致收敛,记则,于是 , 而反常积分 收敛, 于是由Weiestrass判别法知 关于一致收敛, 进一步得到 解关于的常微分方程得到 , 其中 是任 意常数, 而 , 于是 |
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