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TJ202101 已知在上一致连续, 在上连续,且,证明: 在上一致连续. 证明 由于,于是对任意的,存在,对任意的,都有,于是对任意的,且,有 由Cantor定理,知在上一致连续,于是存在,当时,有,取,则有对任意的,且,都有. TJ202102 设函数 分别确定的范围使得满足: (1)在上有原函数; (2)在上Riemann可积; (3)在上连续. 证明 注意到 于是在时连续,故 (1)这表明无第一类间断点,即 于是时,\ 存在原函数; (2)这表明在上有界,故只需考虑在时的情形即可,即要求在原点处的左右极限分别存在,故. (3)这表明在处左右极限相等,由(2)可知此时. TJ202103 已知,且在上单调递增,证明: 在的左右极限都存在,且 证明 若函数在上连续,则命题得证;下考虑是第一类间断点的情形,考虑,则成立,我们证明一定是有限数,考虑的值域为 (i)若有上界,设,对任意的,由上确界定义知不是上界,即存在,使得,于是当时成立 即,得证; (ii)若无上界,则类似得到对任意给定的数,都有,于是当时,有,得证.于是令,得到 TJ202104 证明:开区间上的凸函数是连续的. 证明 我们考虑下凸函数,注意到对于区间上的任意三点,成立不等式 不妨记 取,考虑三点纵坐标有如下关系:令,由夹逼定理得到,同理取可证明,即开区间上的下凸函数是连续的(上凸函数是类似的). 注记 若定义域是闭区间则命题不一定成立,如 TJ202105 已知函数在上二阶可导,记,证明:若,则. 证明 考虑其中,有估计 于是,取,于是有. TJ202106 已知函数在上连续,且,证明:若, 收敛,且 证明 由于是连续函数,考虑 由于,于是,故在单调递增,于是,命题得证. 注记 本题中的连续性条件可以去掉而结论仍然成立,记,则 TJ202107 计算极限: . 解法1 由和差化积公式得到 于是 解法2 我们用Lagrange中值定理求解如下:注意到 于是 TJ202108 已知函数在上有连续的二阶导数,且,证明:级数绝对收敛. 证明 由题意知,进一步注意到 故 于是级数绝对收敛. 注记 本题可进一步推广为:若函数在上有定义,且存在,则级数绝对收敛的充要条件是. TJ202109 已知,证明: 在上连续,在处可导,在处不可导,且. 证明 在处,有 由Weierstrass判别法可知此时收敛;在处,此时是一个Leibniz级数,故此时也收敛.于是在上连续.由于逐项求导以后在处仍然是Leibniz级数,故此时收敛并在上一致收敛,能逐项求导且在处有右导数.注意到在内,有由积分判别法可知是发散的.由比较判别法可知此时的部分和序列也是发散的.故对于,存在,当时,有.故对任意的,都存在,当时,有.因此.即有 故在处不可导.TJ202110 已知在上连续,且在和时都收敛,证明:在上一致收敛. 证明 注意到 注意到在上单调有界,同时在上单调有界,进一步对两段积分分别使用Abel判别法,命题得证. |
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