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回顾下上节课我们学习的洛必达法则，其两大定理如下： 定理1 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋向于零; (2)在点a的某去心邻域内，f'(x)及F(x)都存在且F'(x)≠0； (3)x→a,limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)。 那么 x→a时。limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x) 定理2 设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋向于零； (2)当IxI>N时f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)x→∞，limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)， 那么 x→∞，limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x). 今天我们学习利用导数研究函数的变化，对于函数相信大家并不陌生，初中时期学习的正比列函数、反比列函数、一元函数、二次函数等等，高中时期学习的指数函数、幂函数、对数函数等等。其应用的范围和我们在大学时期学习的应用范围有所不同，接下来我们回顾并学习函数在大学时期有怎样的性质呢？ (一)函数为常数的条件与函数恒等式的证明
对于条件的证明需要通过列题来加以巩固，我们看下下面这个列题 列1.证明函数恒等式 arctanx=1/2arctan2x/(1-x^2),x∈(-1,1). 证明：令f(x)=arctanx,g(x)=1/2arctan2x/(1-x^2),要证f(x)=g(x) (x∈(-1,1)),只需证明： 1.f(x),g(x)在(-1,1)可导且f'(x)=g'(x) (x∈(-1,1)); 2.存在xo∈(-1,1),f(xo)=g(xo). 由初等函数的性质知，f(x),g(x)在(-1,1)内可导，容易计算得到 f'(x)=1/(1+x^2),g'(x)=1/2*1/[1+(2x/(1-x^2))^2]*[2(1-x^2)+4x^2]/(1-x^2)^2=1/(1+x^2) 即f'(x)=g'(x),x∈(-1,1).又f(0)=g(0)=0,因此f(x)=g(x) (x∈(-1,1)),即原等式成立。 注意：也可以转化为证明f(x)=arctanx-1/2arctan2x/(1-x^2)在(-1,1)恒为零。 (二)函数单调性充要判别法 定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则
(三)极值点充分判别法 1.极值第一充分判别定理及其几何意义 定理1：设f(x)在(xo-v,xo+v)连续，在(xo-v,xo+v)/{xo}可导。若x∈(xo-v,xo)时f'(x)>0(<><0(>0),则f(x)在x=xo取极大值(极小值). 几何意义：从左到右在x=xo的两侧附近，若曲线由上升(下降)变到下降(上升),则x=xo是极大值(极小值)点。点x=xo可以是f(x)的不可导点。 2.极值第二充分判别定理及其几何意义 定理2：设f(x)在点xo二阶可导且f'(xo)=0,当f'(xo)<0时，f(xo)为极大值；当f'(xo)>0时，f(xo)为极小值。当f'(xo)=0时待定。 几何意义：当f'(xo)=0,f'(xo)<0(>0)时，从左到右在x=xo两侧附近，f'(x)由正(负)变负(正)(归结为第一充分判别法的情形). (四)凹凸性的定义与充要判别法
列2：设f(x)在(a,b)内可导，证明：任意xo∈(a,b),有 f(xo)+f'(xo)(x-xo)>f(x) (任意x∈(a,b),x≠xo) (*) ↔f'(x)在(a,b)为单调减的。 分析与证明：先设(*)成立，任意x1,x2∈(a,b),x1<> →f(x2)<><> 两式相加→[f'(x1)-f'(x2)](x2-x1)>0 →f'(x1)>f'(x2),即f'(x)在(a,b)是单调减的。 现设f'(x)在(a,b)是单调减的，任意x,xo∈(a,b),x≠xo,由微分中值定理得 f(x)-[f(xo)+f'(xo)(x-xo)]=[f'(v)-f'(xo)](x-xo)<> 其中v是在x与xo之间，即(*)成立。证毕。 (五)拐点的定义与充分判别法
注意：
2.求二阶可导函数的凹凸性区间就是求二阶导数的正负号区间，相邻的两个凹凸性区间的分界点就是拐点。 (六)利用导数做函数图形
利用导数研究函数的变化，六大形态，希望大家可以及时收藏并分享，好好掌握。 |
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