【原】18级数分分析一期末测试题

又来冒下泡了！

18级数分期末测试题(又是黄老师出题吗？我似乎已经把握了黄老师的出题风格！)

一：填空题(每小题4分，共20分.)

1. 设 则极限
2. 设 则
3. 设函数 试用这个函数构造一个新函数 使它仅在 与 处连续, 则

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二：判断题(若正确，回答是并给出证明；若错误，回答否并举出反例，每小题5分，共10分.)

6. 设函数 在点 的任意邻域内都不是常值的. 若 是极小值, 问是否可断定在点 的充分小邻域内 在 左侧下降?

7. 设函数 在点 的邻域 内连续，在去心邻域 内可导，且极限 存在. 问是否能断定 存在?

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三：计算题(每小题10分，共20分.)

8. 求极限
9. 设

(1) :求 的表达式.

(2) :确定 使 在 和 处都连续.

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四：证明题(每小题6分，共12分.)

10. 设函数 在区间 上可微， 是常数. 证明: 在 的两个正零点之间必有函数 的一个零点.
11. 设函数 在 上连续且以 为周期 证明 在 上一致连续.

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五：解答题(8分.)

12. 设函数 在 附 近有 定义并在 该点连续 . 探讨函数 在 处可导的充要条件.

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六：证明题(每小题10分，共30分.)

13. 设函数在区间上二阶可导，且 证明:
14. 设函数 在区间 上可导. 证明: 是 上的凸函数的充要条件是 都成立
15. 设 数列 满足条件 .证明:

(1) (提示：反证，考虑

(2) 当 时有

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解答：

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3. .

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5. .

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6. 否;例如：,容易验证，0确实为极小值点，但在任意一个0的去心邻域内都不单调.

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7. 是;根据导函数极限定理可知正确(用拉格朗日中值定理证明.)

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满足的所有.

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10. 构造函数,由于：,根据罗耳中值定理可知：存在,使,即：.

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11. 根据Cantor定理可知，函数在上一致连续，所以对于任意的,有：,现证对上都是成立的，对任意的,都可以写为：,(不妨假设)所以对任意的,当时，要么：,所以：,要么：.故在上一致值连续.

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12. .

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13. 考虑在区间内一点展开，所以有：

将带入，相减即得：

即有：

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14. 必要性:根据凸函数定义：

两边对取极限即得答案.同理.

充分性：令,即有：

上下相加即得答案.

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15. 易得单调递增，假设收敛，则有：,所以根据极限的保号性可知,存在,即得：

由：的发散性可知，发散，矛盾，所以题设得证. 利用定理即可：

后者同理

小周背马原背不动了，物理也学不会了！