概形理论：除子(1)—— Weil 除子除子是用来研究代数簇或概形的内蕴几何的重要工具 , 本文我们讨论除子 , 线性等价和除子类群 , 而除子类群是 Abel 群 , 它是代数簇的一个很有用的不变量 , 事实上除子对于研究从给定的代数簇到射影空间的映射也是十分重要的 . 我们将采用几种不同的方式来定义除子 , 其中比较常见的是 Weil 除子 . 从几何视角看这是比较简单的一种除子 , 毕竟 Weil 除子只是定义在某些 Noether 整概形上 , 而对于一般的概形 , 则需要引入 Cartier 除子的概念 , 然后就可以讨论 Weil 除子 , Cartier 除子和可逆层之间的联系 . 我们首先来看一个例子 . 设 是代数闭域 上的射影平面 中的非异射影曲线 , 对于 中的每条直线 , 考虑 上的有限点集 , 如果 是 次曲线且在计算点的个数的时候需要考虑重数 , 那么 恰好由 个点组成 , 于是记 , 其中 是曲线 上的点 , 而 是点 的重数 , 进而称上面这个形式和为 上的除子 . 当 发生变化时就可以得到关于 的一族除子 , 它们可以被 中所有直线的集合即对偶射影空间 参数化 , 此时称该除子的集合为 上除子的线性系 . 事实上 在 中的嵌入映射可以由这个线性系得到 , 即如果 是 上的点 , 考虑在线性系中包含点 的除子的集合 , 那么它们对应经过点 的直线 , 且同时在 上的点 被这条直线的集合唯一决定 . 关于线性系和射影空间中的嵌入映射之间的联系我们后续会展开详细讨论 , 本文暂时搁置 . 上面的例子充分说明了除子这一工具的重要性 , 为了进一步理解线性系在不同除子之间懂的关系 , 则令 和 是 中的两条直线 , 而 和 是相应的除子 , 如果 和 是由 中的线性齐次方程 和 所定义的 , 那么 就可以给出 上的有理函数 , 而且 限制在 上为有理函数 , 根据构造可知 , 以 上的点为零点和以 上的点为极点 , 并且考虑了这些零点和极点的重数 . 关于重数的含义我们本文会详细地给出解释 . 至于 和 线性等价的内在定义则是有理函数 存在 , 为了使得上面所提到的概念更加精确 , 下面我们正式开始讨论 . 本文重点介绍 Weil 除子 , 我们有下面的定义 .
上述定义中的概形最重要的例子就是非异代数簇和 Noether 正规概形 , 根据《Hartshorne 的代数几何专题的代数簇(第五篇)——非异代数簇和完备化》中的定理1可知 , 非异代数簇上每个闭点的局部环是正则环 , 于是所有的局部环均为正则环 , 毕竟这些局部环是闭点的局部环的局部化 , 进而根据《Hartshorne 的代数几何专题的代数簇(第六篇)——非异曲线》中的定理2可知 , 对于 Noether 正规概形 , 任意维数为 的局部环是整闭整环 , 因此是正则环 . 在本文中我们考虑的概形 是 Noether 整的可分离概形且在余维数为 的情形下是正则概形 .
根据上面的定义 , 如果 是 的素除子 , 令 是它的广点 , 那么局部环 是离散赋值环 , 其商域为 的函数域 , 于是称相应的离散赋值环 为 的赋值 . 由于 是可分离概形 , 故 由它的赋值唯一决定 , 现在令 是 的任意非零有理函数 , 则 是整数 , 如果 是正整数 , 那么 有 阶的沿 的零点 , 如果 是负整数 , 那么 有 阶极点 . 下面来看一个有用的引理 .
证明：令 是 的开仿射子集使得 在 上为正则有理函数 , 则 是 的真闭子集 , 由于 是 Noether 概形 , 故 最多只能包含有限多个 的素除子 , 而所有其它的素除子一定与 相交 , 于是只需证明只存在有限多个 的素除子 使得 即可 . 注意到 在 上是正则有理函数 , 故在任意情形下均有 , 而 当且仅当 包含在 的理想 定义的 的闭子集 , 又因为 , 所以这是一个真闭子集 , 进而它只包含有限多个 的余维数为 的闭不可约子集 . 我们继续来给出和除子相关的定义 .
根据上面的定义 , 如果 , 那么由赋值的性质可以得到 , 那么函数 映到它的除子 给出乘法群 到加法群 的同态 , 且由主除子组成的象是 的子群 .
事实送上概形的除子类群是一个不变量 , 但计算过程却十分不容易 , 我们为了了解它的结构 , 会在下面的命题和一些例子中给出几种特殊情形 .
证明：由于唯一因子分解整环是整闭的 , 故 是正规概形 . 一方面根据《Hartshorne 的代数几何专题的代数簇(第一篇)——仿射代数簇》中的命题12可知 , 是唯一因子分解整环当且仅当高度为 的每个素理想是主理想 , 于是需要证明如果 是整闭整环 , 那么每个高度为 的素理想是主理想当且仅当 . 事实上如果每个高度为 的素理想是主理想 , 考虑素除子 , 而 对应高度为 的素理想 且 由元素 生成 , 那么显然有 的除子为 , 于是每个素除子是主除子 , 即 . 反之如果 , 那么令 是高度为 的素理想 , 而 是与高度为 的素理想 的素除子 , 于是得到 , 其中 是 的商域且 , 故需要证明 并生成 . 由于 , 故 且 生成 . 如果 是高度为 的任意其它的素理想 , 那么 对应 的素除子 以及 , 于是 , 根据下面的命题3的结果可以得到 . 事实上有 , 其中 , 为了证明 生成 , 则令 是 的任意其它的元素 , 于是对所有的 有 和 , 进而对所有的素除子 也包括 有 , 因此对高度为 的所有素理想 有 , 再次根据下面的命题3可知 , 然后得到 , 这意味着 是由 生成的主理想 . 命题2的证明还可以参考《Bourbaki . Commutative Algebra》中的第7章第3节 . 接下来我们给出上面证明过程中所使用的命题 .
证明：参考《Matsumura . Commutative Algebra》中第124页的定理38 . 下面我们来看几个例子 . 例1：如果 是域 上的 维仿射空间 , 那么 , 事实上 且多项式环为唯一因子分解整环 . 例2：如果 是 Dedekind 整环 , 那么 就是代数数论中的理想类群 , 于是根据命题2可以得到如果 是唯一因子分解整环当且仅当它的理想类群 . 下面的命题说明了射影空间 上的除子的性质 .
证明：设 是 是齐次坐标环 , 如果 是 次齐次元 , 那么可以把 分解为不可约多项式之积 , 此时 定义了次数为 的超曲面 , 同时也定义了 的除子 , 于是有 . 现在 上的有理函数 是同次数的齐次多项式的商 , 故显然有 , 进而得到 , 因此(ii)得证 . 如果 是任意的 次除子 , 那么可以将 记作次数分别为 的两个有效除子 和 的差 , 即 , 令 和 , 由于 中的不可约超曲面对应 中的高度为 的齐次素理想 , 而这些理想是主理想 , 故取幂的乘积就可以得到任意的有效除子 , 其中 是某个齐次元素 . 注意到 , 而 是 上的有理函数 , 因此(i)得证 . 而根据(i)和(ii) , 以及 就可以推出(iii) .
证明：(i) 如果 是 上的素除子 , 那么 是空集或 上的素除子 , 如果 和 , 那么 是 上的有理函数 , 于是有 , 进而有同态 且这个同态是满同态 , 这是因为 的每个素除子是 在 中闭包的限制 . (ii) 由于群 和 只依赖于余维数为 的子集且所有的除子都不被 包含 , 故即使去掉维数大于 的闭子集也并没有发生任何变化 . (iii) 事实上 的核是由支集包含在 中的除子组成 , 但如果 是不可约子集 , 那么 的核就是由 生成的 的子群 . 下面再来看两个例子 . 例3：设 是 中的 次不可约曲线 , 则根据命题4和命题5立马推出 . 例4：令 是域和 , 而 , 则 是 中的仿射二次锥面 , 事实上 和它由锥面的一条母线如 生成 , 如下图所示 .  注意到 是素除子 , 根据命题5可知存在正合列 , 其中第一个映射由 给出 , 从集合的角度看 , 可以被函数 截得 , 事实上 的除子为 , 这一点可以根据 以及 生成 的广点的局部环中的极大理想得到 , 故有 , 其中 , 而在 中有 , 然后消去 得到 , 这是一个唯一因子分解整环 , 再根据命题2可知 . 于是存在正合序列 , 即 由 生成而 , 如果能证明在 中 , 即 本身不是主除子 , 那么就能得到 . 由于 是整闭环 , 故等价于证明 的素理想 不是主理想 , 令 , 并注意到 是由 的象 生成的 上的 维切向量空间 , 事实上 以及 在 中的象含有 和 , 因此 不可能是主理想 . 下面我们来讨论乘积空间 的除子类群 , 则有下面的命题 .
证明：显然 是 Noether 整的可分离概形 , 于是只需证明它在余维数为 的情形下是正则概形即可 . 注意到有两类 上的余维数为 的点 , 第一类点 在 中的象是余维数为 的点 , 此时 是 的广点 , 其中 是投射态射 , 由于 的局部环 以及 是离散赋值环 , 故 也是离散赋值环 , 且相应的素除子 为 , 第二类余维数为 的点 在 中的象是 的广点 , 此时 是 在某个极大理想处的局部化 , 其中 是 的函数域 , 由于 是主理想整环 , 故 是离散赋值环 , 因此 满足在余维数为 的情形下是正则概形 . 接下来我们利用 定义映射 , 如果 且 是 的元素 , 那么 是 的除子 , 其中 是 的函数域 , 于是得到同态 . 为了证明 是单射 , 不妨假设 和对某个 有 . 由于 只含第一类素除子 , 故 一定在 中 , 否则可以记作 , 其中 且 互素 , 如果 不都在 中 , 那么 包含 上的某个第二类素除子 , 于是如果 , 那么显然可以推得 , 因此 是单射 . 要证明 是满射 , 只需证明 上的任意第二类素除子线性等价于第一类素除子的线性组合 . 令 是某个第二类素除子 , 在 的广点局部化的情形下得到 中的与素理想 相对应的素除子 , 事实上这个素除子是主除子 , 于是令 为生成元 , 进而得到 , 而 的除子是由 或者加上某些第一类素除子所组成 , 即它不能含有任何其它的第二类素除子 , 因此 线性等价于第一类素除子的线性组合 , 至此完成了命题的证明 . 最后让我们用几个例子来结束本文的讨论 . 例5：设 是 在的非异二次曲面 , 则有 . 下面我们来证明这一论断 , 根据 , 令 和 是 到两个因子的投射态射 , 然后类似于命题6的证明就得到了同态 . 接下来证明 和 是单射 , 令 , 则 , 于是合成映射 是同构 , 因此 是单射 , 同理只需把合成映射中的第一处映射记作 , 那么立马就得到了 是单射 . 现在对 考虑正合序列 , 则在上面的序列中第一个映射是 , 但如果将 作为一个点的类把 和 等同起来 , 那么第一个映射就是 , 故第一个映射为单射 . 而 的象同构地嵌入 中就得到了 . 如果 是 的任意除子 , 令 是 中的有序整数对 , 在上面的同构意义下与 的类相对应 , 此时称 在 上具有型 . 例6：我们继续讨论二次曲面 , 则嵌入映射诱导出一个同态 , 而生成 的超平面 的象是 中的元素 . 令 是 的不包含 的任意不可约超曲面 , 接下来为了得到 的除子 , 则将重数赋予 的各个不可约分支 . 事实上在 的每个标准开集 上 , 是由单个函数 所定义的 , 于是可以将这个函数限制到 上并且对 的素除子的赋值的值来定义除子 . 根据线性性质扩张这个映射来对 的每个除子 定义 的除子 , 其中 均不包含 . 显然线性等价除子的限制是线性等价的 , 根据命题4可知 , 的任何除子均线性等价于一个除子 , 并使得它的每个素除子都不包含 , 这样就得到了一个具有确切定义的同态 . 现在如果 是超平面 , 那么 是由两条直线 和 组成的除子 , 其中这两条直线分别在一个直线族中 , 故 在 中具有型 , 事实上两个直线族分别对应 和 , 因此它们分别具有型 和 . 例7：进一步讨论上面的例子 , 令 是在 上的三次挠线 , 如果 是二次锥面 , 那么有 , 其中 是直线 . 由于在 上有 , 故 是型 的除子 , 而直线 具有型 , 于是 具有型 , 因此不存在任何不包含 的曲面使得 , 即使从集合的角度来看也是如此 . 因为在 的情形下除子 就是 , 这是 中的型 的除子 , 其中 是某个大于 的整数 , 但如果 是 次曲面 , 那么 具有型 , 此时不可能等于 , 因此 不存在 . 例8：如果 是 中的非异三次曲面 , 那么 . |
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