《算术与几何的妙趣》所有的质数？

2008 年 1 月，这个公式和猜想发现五年之后，美国罗格斯大学数学系的埃里克·罗兰将其证明。马特·弗兰克猜想变成了埃里克·罗兰定理。罗兰还成功阐释了如果不从 f (1)=7 开始的情况。在一段时间内，我们可能不会仅碰到 1 和质数，而是存在一个点（取决于代替 7 的数值），在其后只出现 1 和质数。

弗兰克的质数研究显示了只要等待足够长的时间，似乎除了 2 以外的所有质数都会出现。该方法给出的前 1000 个质数中，除了 2 之外缺失的最小质数是 191。除了 2 以外，该猜想可以得到所有质数的论断尚未被证明，这恐怕会成为比第一个更难证明的猜想。

埃里克·罗兰猜想

除了 2，所有质数都会在数列 f (n)-f (n-1) 中出现。

受弗兰克数列启发，伯努瓦·克鲁瓦特在 2008 年提出并研究了其他一些数列。看吧，计算爱好者们有的忙了：试着推翻这些猜想，并顺着弗兰克揭开的灵感源泉提出新的猜想。旧的猜想还等待证明，新的猜想又将出现，数学家们必须赶紧着手寻找这些猜想的证明方法了！

人脑与计算机携手探索算术奥秘呈现出新的合作形态，若能就此更好地解答某些旧问题，届时，更多尚未被证明的崭新问题——更多猜想，便会应运而生。

6. 伯努瓦·克鲁瓦特数列

伯努瓦 · 克鲁瓦特受马特 · 弗兰克公式启发，研究了第一个迭代：g(1) = 1，g(n) = g(n-1) + ppcm(n, g(n – 1))，其中ppcm(a, b)表示a和b的最小公倍数，可以通过公式从最大公约数（pgcd）算出：ppcm(a, b)=ab/pgcd(a, b)。这个公式用质因数分解很容易证明。该数列的前几项是：1, 3, 6, 18, 108, 216, 1728, 3456, 6912, 41 472, 497 664, 995 328, 13 934 592, 27 869 184, …

令a(n) = [g(n)/g(n – 1)] – 1，得到2, 1, 2, 5, 1, 7, 1, 1, 5, 11, 1, 13, 1, 5, 1, 17, 1, 19, 1, 1, 11, 23, 1, 5, 13, 1, 1, 29,…

如同弗兰克迭代的情况，这个数列是否只有1和质数，还有待严格证明。数字3从来不曾出现，似乎是唯一的缺失。克鲁瓦特正在探索一些更严谨的线索。

克鲁瓦特的另一个同类迭代也很有趣，也更加让人困惑：h(1) = 1，h(n) = 2h(n – 1) + ppcm(n, h(n – 1))。

令b(n) = [h(n+1)/h(n)] – 2 = ppcm(h(n), n)/h(n)，得到2, 3, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 11, 1, 1, 7, 1, 1, 17, 1, 1, 1, 7, 11, 2, 1, 1, 1, 1, 7, 29, 1, 1, 2, 11, 17, 7, 1, 37, 1, 1, 1, 41, 7, 1,…

去掉其中的1，有2, 3, 7, 2, 11, 7, 17, 7, 11, 23, 7, 29, 2, 11, 17, 7, 37, 41, 7, 11, 23, 47, 17, 53, 29, 59, 67, 17, …

又一次只有质数。克鲁瓦特指出，大于7的缺失质数都是孪生质数的第二个元素，这十分奇怪。比如缺失的数字31，是孪生质数（29，31）的第二个元素。

7. 猜想的变形

一个有关质数列的最新发现颇值得一提。长期以来未被证明的普罗特-吉尔布雷斯猜想指出，当我们画出下面的表时，（除了第一行）每行的第一个数都是1。

我们在表的第一行写下质数列，然后第N行的计算就是对n-1行的相邻两项做差，不考虑符号：

人们不断对普罗特－吉尔布雷斯猜想进行深入研究，在1993年，安德鲁·奥德里克验证了前3×10¹¹行，真是了不起！

约瑟夫·佩用同样的思路，在第一行写了质数的平方。

他观察到在每一行的第一项中，质数远多于合数。

于是他猜想：“表格每一行的第一项是质数的概率大于二分之一”；准确地说：“考虑前 N 行开头的数字，质数的数量总是大于合数数量。”比如，我们可以验证前1000行中有897行的开头是质数。其他检测也证实了该猜想，但目前，这个猜想比吉尔布雷斯猜想好不了多少，也没有得到证明。（让·保罗·德拉耶）