【原】2023南山区中考二模压轴题详解，辅助线几乎一样，但压轴难证

如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB、BC在同一条直线上，且AB=2BC，取EF的中点M，连接MD、MG、MB

(1) 试证明DM⊥MG，并求=_______

(2) 如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB=60°，其它条件不变，问(1)中的值有变化吗？若有变化求出该值；若无变化，说明理由；

(3) 如图，已知菱形ABDE~菱形BCFG，且∠A=2ɑ(0<ɑ<45°)，菱形BCFG绕点B旋转过程中，取EF的中点M,作△DGM，求证△DGM是直角三角形并求出的值.

解：(1)延长GM交AD于点H，ME=MF，∠EHM=∠FGM，∠EMH=∠FMG得△EMH≌△FMG，EH=GF，而GF=BG，DE=DB得DH=DG，又M为GH的中点，故DM⊥DG；

设GF=1，则GP=，得GM=,MB=,故

(2)延长GM交DE于点I，同理易知△EIM≌△FGM，EI=GF得DI=DG，而∠EDB=∠A=60°，故DIG为等边三角形，M为GI的中点，故DG⊥MG；同时由DE=DB，DM=DM，∠EDM=∠BDM得△EDM≌△BDM，故MB=ME；设DG=1，则BG=1，MG=，作MQ⊥BD于点Q，易知GQ=，MQ=，得MB=，故

(3)延长GM至点I，使MI=MG，连接EI、DI，易知△EMI≌△FMG，得∠MEI=∠MFQ，EG=GF，故EI||GF,即有EI||BC；延长EI、AB交于点Q，∠DEI=∠Q，而∠Q=∠QBC，得∠DEI=∠QBC；同时∠DBG+∠ABC=180°，∠QBC+∠ABC=180°，得∠DEI=∠DBG；又DB=DE，得△DEI≌△DBG，故DI=DG，M为GI的中点，故DG⊥MG；同时∠GDI=∠BDE=2ɑ，故

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