电磁感应考点之“单杆－电阻模型无外力减速问题”中的几个难点

Part1模型

如图所示，水平面上固定着光滑平行导轨，其间距为，处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为。质量为的导体棒垂直于导轨导轨放置，时，给导体棒一个向右的初速度。导轨左端连接电阻，不考虑其它电阻。试分析导体棒的运动情况、通过电阻的电荷量。

Part2面向高考

1.分析速度　速度如何变化？

导体棒切割产生感应电动势，进而产生感应电流，从而出现安培力，导体棒做减速运动。当导体棒的速度减小时，感应电流随之减小，故安培力也减小，即其加速度也减小。因此，导体棒将做“加速度在减小的匀减速直线运动”，其图像大致如下。

2.分析电荷　多少电荷量通过电阻？

设导体棒在运动过程中所受的平均安培力为，平均电流为，结合根据动量定理可知

联立上述方程可解得。

3.分析位移　导体棒能走多远？

下面通过分析电荷量和位移的关系，求解其位移的大小。

联立上述方程可得，结合前面求得电荷量，可得。

4.发热量　求一下电阻的总发热量。

根据能量守恒定律，导体棒的动能转化为电阻的发热量，即。

Part3商榷解法

在上述“常规解法”中，出现了几个平均值，即平均速度、平均电流和平均安培力。

平均速度有明确的定义，即位移和时间的比值。经过理论分析可以知道，在理想模型的前提下，从开始运动到停下来，导体棒的位移不会趋于无穷大，但时间会趋于无穷大，故此处出现的平均速度应该会趋于零。

平均电流有两个问题：第一，它并没有被明确定义过，至少在我读过的教材中没有；第二，时间趋于无穷的情况下，平均电流应该趋于零。平均安培力也有类似于平均电流的问题。

另外，三个平均值假设都定义良好了，时间趋于无穷也不是问题，因为会被约掉，但还有一个问题需要注意：这三个平均值到底能不能混在一起用？是不是应该先证明一下再使用好点呢？毕竟用平均电流求电阻发热又是被认为是不正确的，难道不怕这里的式子也会有错？

这让我想到一句话：只许州官放火不许百姓点灯。做学生的，拿速度相加除以二就当作平均速度了，老师会告诉他平均值不能随便乱写的；做老师的，说这个题目就是用平均值计算的，也不说为什么。这一点都不物理，简直是勿理。

Part4进一步分析

想要把这个理想化模型相对严谨地解决，应当用高等数学来分析。下面我将根据模型中涉及到的物理规律，结合一点入门级微积分知识，做一下简单分析，供各位同行参考。

这个模型中，我们关注这几个变化的物理量：时间、电荷量、速度和位移。

1电荷与位移

联立(1)(2)(3)式得

等号两端积分

由于，故

2电荷与速度

联立(3)(4)(5)式得

变形并积分

由于，故

“停下来”时，即。

3不管电荷

不考虑电荷量，即联立(1)(2)(4)(5)，可得

变形1：求关系

(8)式等号两端同时乘上并积分

由于，可求解得

“停下来”时，最大位移。

变形2：求关系

对(8)式分离变量并积分

解得

4讨论

由(6)(7)(9)(10)式可知，电荷量与位移成正比、电荷量与速度变化量成正比、速度变化量与位移成正比、速度与时间具有指数关系。

进一步可知，电荷量、位移与时间也具有指数关系，即

一个搞笑图

Part5结束语

应试教育　分析电荷量与速度关系，用动量定理（平均安培力）；分析电荷量与位移关系，用平均电流；分析速度和位移，结合动量定理和平均电流。

没事找茬　不要滥用平均值，要用微积分解决。