初中数学《因式分解》常考题，中考常考！

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《因式分解》常考题练习

1．将下列各式分解因式

（1）3p²﹣6pq；      （2）2x² 8x 8

【分析】

（1）提取公因式3p整理即可；

（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】

（1）3p²﹣6pq=3p（p﹣2q），

（2）2x² 8x 8=2（x² 4x 4）=2（x 2）²．

2．将下列各式分解因式

（1）x³y﹣xy     （2）3a³﹣6a²b 3ab²．

【分析】

（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；

（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．

【解答】

（1）原式=xy（x²﹣1）=xy（x 1）（x﹣1）；

（2）原式=3a（a²﹣2ab b²）=3a（a﹣b）²．

3．分解因式

（1）a²（x﹣y） 16（y﹣x）；  （2）（x² y²）²﹣4x²y²．

【分析】

（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；

（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．

【解答】

（1）a²（x﹣y） 16（y﹣x）

=（x﹣y）（a²﹣16）

=（x﹣y）（a 4）（a﹣4）

（2）（x² y²）²﹣4x²y²

=（x² 2xy y²）（x²﹣2xy y²）

=（x y）²（x﹣y）²

4．分解因式：

（1）2x²﹣x；        （2）16x²﹣1；  

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³； （4）4 12（x﹣y） 9（x﹣y）²．

【分析】

（1）直接提取公因式x即可；

（2）利用平方差公式进行因式分解；

（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；

（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】

（1）2x²﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x²﹣1=（4x 1）（4x﹣1）；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³=﹣y（9x²﹣6xy y²）

=﹣y（3x﹣y）²；

（4）4 12（x﹣y） 9（x﹣y）²

=[2 3（x﹣y）]²=（3x﹣3y 2）²．

5．因式分解：

（1）2am²﹣8a；      （2）4x³ 4x²y xy²

【分析】

（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；

（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】

（1）2am²﹣8a=2a（m²﹣4）=2a（m 2）（m﹣2）；

（2）4x³ 4x²y xy²=x（4x² 4xy y²）=x（2x y）²．

6．将下列各式分解因式：

（1）3x﹣12x³      （2）（x² y²）²﹣4x²y²．

【分析】

（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；

（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．

【解答】

（1）3x﹣12x³=3x（1﹣4x²）=3x（1 2x）（1﹣2x）；

（2）（x² y²）²﹣4x²y²=（x² y² 2xy）（x² y²﹣2xy）

=（x y）²（x﹣y）²．

7．因式分解：

（1）x²y﹣2xy² y³；    （2）（x 2y）²﹣y²．

【分析】

（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；

（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．

【解答】

（1）x²y﹣2xy² y³=y（x²﹣2xy y²）

=y（x﹣y）²；

（2）（x 2y）²﹣y²

=（x 2y y）（x 2y﹣y）

=（x 3y）（x y）．

8．对下列代数式分解因式：

（1）n²（m﹣2）﹣n（2﹣m）； 

（2）（x﹣1）（x﹣3） 1．

【分析】

（1）提取公因式n（m﹣2）即可；

（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．

【解答】

（1）n²（m﹣2）﹣n（2﹣m）

=n²（m﹣2） n（m﹣2）

=n（m﹣2）（n 1）；

（2）（x﹣1）（x﹣3） 1

=x²﹣4x 4=（x﹣2）²．

9．分解因式：a²﹣4a 4﹣b²．

【分析】

本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a²，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．

【解答】

a²﹣4a 4﹣b²=（a²﹣4a 4）﹣b²

=（a﹣2）²﹣b²=（a﹣2 b）（a﹣2﹣b）．

10．分解因式：a²﹣b²﹣2a 1

【分析】

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a²﹣2a 1为一组．

【解答】

a²﹣b²﹣2a 1=（a²﹣2a 1）﹣b²

=（a﹣1）²﹣b²=（a﹣1 b）（a﹣1﹣b）．

11．把下列各式分解因式：

（1）x⁴﹣7x² 1；    （2）x⁴ x² 2ax 1﹣a²

（3）（1 y）²﹣2x²（1﹣y²） x⁴（1﹣y）² 

（4）x⁴ 2x³ 3x² 2x 1

【分析】

（1）首先把﹣7x²变为 2x²﹣9x²，然后多项式变为x⁴﹣2x² 1﹣9x²，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；

（2）首先把多项式变为x⁴ 2x² 1﹣x² 2ax﹣a²，然后利用公式法分解因式即可解；

（3）首先把﹣2x²（1﹣y²）变为﹣2x²（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；

（4）首先把多项式变为x⁴ x³ x² x³ x² x x² x 1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．

【解答】

（1）x⁴﹣7x² 1=x⁴ 2x² 1﹣9x²

=（x² 1）²﹣（3x）²=（x² 3x 1）（x²﹣3x 1）；

（2）x⁴ x² 2ax 1﹣a=x⁴ 2x² 1﹣x² 2ax﹣a²

=（x² 1）-（x﹣a）²=（x² 1 x﹣a）（x² 1﹣x a）；

（3）（1 y）²﹣2x²（1﹣y²） x⁴（1﹣y）²

=（1 y）²﹣2x²（1﹣y）（1 y） x⁴（1﹣y）²

=（1 y）²﹣2x²（1﹣y）（1 y） [x²（1﹣y）]²

=[（1 y）﹣x²（1﹣y）]²=（1 y-x² x²y）²

（4）x⁴ 2x³ 3x² 2x 1=x⁴ x³ x² x³ x² x x² x 1

=x²（x² x 1） x（x² x 1） x² x 1

=（x² x 1）²．

12．把下列各式分解因式：

（1）4x³﹣31x 15；（2）2a²b² 2a²c² 2b²c²﹣a⁴﹣b⁴﹣c⁴；

（3）x⁵ x 1；   （4）x³ 5x² 3x﹣9；

【分析】

（1）需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解；

（2）把2a²b²拆项成4a²b²﹣2a²b²，再按公式法因式分解；

（3）把x⁵ x 1添项为x⁵﹣x² x² x 1，再分组以及公式法因式分解；

（4）把x³ 5x² 3x﹣9拆项成（x³﹣x²） （6x²﹣6x） （9x﹣9），再提取公因式因式分解；

（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．

【解答】

（1）4x³﹣31x 15=4x³﹣x﹣30x 15

=x（2x 1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x² 1﹣15）

=（2x﹣1）（2x﹣5）（x 3）；

（2）2a²b² 2a²c² 2b²c²﹣a⁴﹣b⁴﹣c⁴

=4a²b²﹣（a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b²﹣2a²c²﹣2b²c²）

=（2ab）²﹣（a² b²﹣c²）²

=（2ab a² b²﹣c²）（2ab﹣a²﹣b² c²）

=（a b c）（a b﹣c）（c a﹣b）（c﹣a b）；

（3）x⁵ x 1=x⁵﹣x² x² x 1

=x²（x³﹣1） （x² x 1）

=x²（x﹣1）（x² x 1） （x² x 1）

=（x² x 1）（x³﹣x² 1）；

（4）x³ 5x² 3x﹣9=（x³﹣x²） （6x²﹣6x） （9x﹣9）

=x²（x﹣1） 6x（x﹣1） 9（x﹣1）

=（x﹣1）（x 3）²；

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