直接切线放缩即可,这种情况下请不要参变分离！

例题：设函数f(x)=e^x-e^-x，若对于x≥0，恒有f(x)≥ax，求实数a的取值范围。

分析：

这个问题中，如果把x除到不等式的左边，函数形式变得复杂且导函数的正负性不易判断，注意到f(x)过(0,0)，右侧ax也是过原点的直线，可以考虑用x=0处对f(x)进行切线放缩，快速得到答案。

解：

f’(x)= e^x+e^-x>0，因此f(x)在[0，+∞)上单调递增

f’’(x)= e^x-e^-x≥0，f’’(0)=0，x>0时f’’(x)>0，因此f(x)在[0，+∞)上为下凸

由f(0)=0，f’(0)=1+1=2，显然有f(x)≥2x

f(x)≥ax恒成立，只需2x≥ax恒成立，即a≤2

因此a的取值范围是(-∞，2]

这个问题中，仅使用一步切线放缩就得到了答案。

f(x)及其在x=0处的切线图像如下图所示,供参考。

本例题带给我们的启发是：

(1)在所研究区间内，如果函数二阶导数不变号，则其凹凸性不会改变。

(2)二阶导数>0可以类比于开口向上的抛物线y=ax²+bx+c (显然，y’’=a>0)，函数图像是下凸的（或者上凹的）；二阶导数<0可以类比于开口向下的抛物线y=ax²+bx+c (显然，y’’=a<0)，函数图像是上凸的。

(3)如果凹凸性不变，可通过任意点的切线进行放缩，函数在所研究区间内的图像必然位于切线的上方（上凹）或下方（上凸）。

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