[数学] 巧用数形结合及多种思路来解决三角函数中的某类计算问题

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当然了，也是看到群里有人在问，由于本题比较特殊，刚好和余弦定理类似，就想着构造一个图形来秒解。

顺便也提供了些其他的方法，如果同学们也能掌握，估计三角函数就不是问题了。

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题目

三角函数题比较简单，基本就是各类公式的灵活运用，这就需要大家对各类三角函数的公式很熟悉，或者利用基本公式能推断出别的公式。当然了，如果处理失当，可能会带来大量的计算。

题目很简单，就是计算三角函数的值。

解题思路一

一看到此类题目，我们就可以联想到余弦定理。

假设角C对应的角为120°，则有：

同理，如果我们令：

那感觉离余弦定理更近了些。

那怎么确定sin20°和sin40°呢？

如果我们构造出直角三角形，让其斜边为1，那么，是不是就可以很轻松地得到这两个三角函数呢？

如下图所示：

图1

我们可以构造出一个直径为AB=1的圆，点D和E都是圆周上的点，那么，三角形ADB和三角形ABE都是直角三角形。

我们令∠DAB=20°，∠EAB=40°，那么：

因此，所求三角函数的值就是DE长度的平方。

O为圆心，我们连接OD和OE，很明显：

那么，三角形DOE为等腰三角形，并且两个底角是30°。

这么特殊的三角形，我们就知道其底边是腰的倍。

因此，。

所以，所求式子的值就是。

这样的数形结合很简单吧，计算量低，基本可以实现秒杀。

一般情况下，对于α和60-α的两个角，

恒成立。

解题思路二

对于所求三角函数，其实我们很容易想到立方差公式：

因此，所求三角函数转换为：

怎么对三角函数降幂呢？

如果记不住公式，我们可以通过基本公式推导出来。

譬如，针对3α：

同理：

所以，

由于sin60°+cos150°=0，

所以，所求三角函数的值为。

这里其实也不难，只是需要通过基本三角函数公式来降幂。

解题思路三

这里，我们还可以借助平方和公式或平方差公式。

因此，

同理，用平方差公式也可做类似推导。

解题思路四

如果前面三种思路都想不到，我们老老实实地死算也是可以解答的，只是也要注意些技巧，确定一个解题的方向。

我们令30°=α，10°=β，由于30°是特殊角，我们可以先统一成β即可。

也就是：

化简，可得：

也就是：

代入，也就是：

解题思路五

借助于解题思路一里的图形，我们也可以用托勒密定理来解答。

图1

也就是：

也就是：

从而，。

解题思路六

我们也可以先对平方降幂。

留意到50°=30°+20°。

继续化简。

这种也比较简单，用到了平方降幂、和差化积、二角和差等公式。

解题思路七

想继续用数形结合的方法来解答，但不同于思路一，需要通过线段将平方和乘积表达出来，读者中谁能想出来吗？